【实变函数】三、可测函数
【实变函数】3. 可测函数
本章介绍可测函数，是勒贝格积分的主体，它与阶梯函数、连续函数、多项式等都有一定的联系。文中所提到的证明点此查看。
1. 可测函数
可测函数有几种简单的定义：设\(f(x)\)是定义在可测集\(E\subset \mathbb{R}^{n}\)上的广义实值函数，若对任何\(t\in \mathbb{R}\)，下列集合都是可测集（四条中满足一条即可）：
- \(\{x:f(x)>t\}\)；
- \(\{x:f(x)<t\}\)；
- \(\{x:f(x)\ge t\}\)；
- \(\{x:f(x)\le t\}\)。
容易验证，以上四个条件是等价的。但实际生活中，我们往往将\(\forall t\in \mathbb{R}\)的条件减弱成\(\forall t\in D\)，这里\(D\)是\(\mathbb{R}\)上的一个稠集（如有理数集\(\mathbb{Q}\)），这是函数可测的等价条件（证明3-1）。
对于可测函数，为什么称其为可测函数？就是将函数值限定在任何一个水平或者区间上，构成这个区域的\(x\)的范围都是可测集，这是可测函数的基本性质。
对于可测函数，以下性质是比较重要的，这些性质保证了很大一部分函数都是可测函数（\(1\sim 5\)：证明3-2）。
- \(\mathbb{R}\)上的连续函数、单调函数都是可测函数。
- 若\(f(x)\)、\(g(x)\)是\(E\subset \mathbb{R}^n\)上的实值可测函数，则\(cf(x),f(x)+g(x),f(x)g(x)\)都是\(E\)上的可测函数。
- 对\(E\subset \mathbb{R}^n\)上的可测函数列\(\{f_k(x)\}\)，\(\displaystyle{\sup_{k\ge 1}\{f_k(x)\}},\inf_{k\ge 1}\{f_k(x)\},\varlimsup_{k\to \infty}f_k(x),\varliminf_{k\to \infty}f_k(x)\)是\(E\)上的可测函数。
- 对\((a,b)\)上的实值函数\(f(x)\)，\(\displaystyle{\overline{D}f(x)=\varlimsup_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x},\underline{D}f(x)=\varliminf_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}}\)是\((a,b)\)上的可测函数。
- 对\(\mathbb{R}^2\)上的实值函数\(f(x,y)\)，固定\(x\)时\(f(x,y)\)是\(y\in \mathbb{R}\)上的连续函数，固定\(y\)时\(f(x,y)\)是\(x\in \mathbb{R}\)上的可测函数，则\(f(x,y)\)是\(\mathbb{R}^2\)上的可测函数。
- 设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}^{1}\)上的连续函数，\(g(x)\)是\(\mathbb{R}^1\)上的实值可测函数，则复合函数\(h(x)=f(g(x))\)是\(\mathbb{R}^1\)上的可测函数。
由于函数在一个零测集处的取值不会改变其可测性，因此接下来的许多命题，都将关注函数在去掉一个不重要的零测集上的性质，我们将函数在一个零测集外成立的性质称为几乎处处成立。
需要注意的是，函数几乎处处成立的性质，有时候不一定可以另找一个函数使得性质处处成立，这表明\(\mathrm{a.e.}\)成立与完全成立之间依然存在着很大的区别。可以关注下面两个例子：
- \(f\)是\(\mathbb{R}\)上的连续函数，\(g=f,\mathrm{a.e.}\)，\(g\)却不一定\(\mathrm{a.e.}\)连续。
- \(f\)是\(\mathbb{R}\)上的\(\mathrm{a.e.}\)连续函数，不一定存在\(g=f,\mathrm{a.e.}\)，使得\(g\)是\(\mathbb{R}\)上的完全连续函数。
2. 可测函数列的收敛
由于我们给出了可测函数列的极限也是可测函数，故下面讨论的函数均为可测函数。
实变函数的提出，是为了解决积分与函数极限的交换问题，在此之前必须定义函数的收敛性。在学习实变函数之前，我们常常提到的收敛有以下两种：
- 收敛：\(\forall x\in E\)，\(\displaystyle{\lim_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)}\)。
- 一致收敛：\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists N\)使得\(n\ge N\)时\(\forall x\in E\)，\(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)。
显然一致收敛是要比收敛更强的收敛，如果仅是收敛，函数的极限性质可能在某些情况下不成立。在数学分析中，我们给出函数列一致收敛等价于
在实变函数中，我们需要掌握两种另外的收敛形式。
- 几乎处处收敛：存在\(E\)中的零测集\(Z\)使\(\forall x\in E\setminus Z\)，\(\displaystyle{\lim_{n\to \infty}f_k(x)=f(x)}\)。
- 依测度收敛：\(\forall \varepsilon>0\)，\(\displaystyle{\lim_{n\to \infty}m(\{x\in E:|f_k(x)-f(x)|>\varepsilon\})=0}\)。
从定义上看，这两种收敛均不关注\(E\)上的“小测度”信息，其中几乎处处收敛会忽略一个固定的零测集，而依测度收敛将忽略一个不固定的小测度集。由此，我们可以看出收敛强于几乎处处收敛，而在许多情况下，几乎处处收敛也蕴含依测度收敛。接下来我们将讨论一些联系起几种收敛的定理。（证明3-3、3-4、3-5）
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Egoroff定理：若\(m(E)<\infty\)，\(f_k(x)\to f(x),\mathrm{a.e.}\)，则对任给的\(\delta>0\)，存在\(E\)的可测子集\(E_{\delta}\)使\(m(E_\delta)\le \delta\)，且\(\{f_k(x)\}\)在\(E\setminus E_{\delta}\)上一致收敛于\(f(x)\)。
此定理表明，在测度有限的情况下，几乎处处收敛的函数列可以在一个小测度集以外一致收敛。主要注意的是两个条件，一是\(E\)的测度有限，这个条件实际上是应用于递减集列的测度收敛；二是一致收敛需扣除一个小测度集，而不能扣除零测集。
如果测度是无限的，则取\(f_n(x)=\chi_{(0,n)}(x)\)，虽然有\(f_n(x)\to 0\)，但是不可能在一个小测度集上一致收敛。
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Riesz定理：若\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛于\(f(x)\)，则存在子列\(\{f_{k_i}(x)\}\)几乎处处收敛于\(f(x)\)。
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Lebesgue定理：若\(m(E)<\infty\)，\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上几乎处处收敛于\(f(x)\)，则\(\{f_k(x)\}\)依测度收敛于\(f(x)\)。
Riesz定理与Lebesgue定理揭示了两种相对弱一些的收敛：几乎处处收敛和依测度收敛之间的联系。其中，几乎处处收敛在测度有限的情况下强于依测度收敛，而依测度收敛的函数列也必定包含一个几乎处处收敛的子列。
3. 依测度收敛
值得注意的是，依测度收敛作为一种新的收敛形式，它有一些其他的性质。下面，给出依测度Cauchy基本列的概念。
- 依测度Cauchy列：若\(\forall \varepsilon>0\)，有\[\lim_{k,j\to \infty}m(\{x\in E:|f_k(x)-f_j(x)|>\varepsilon\})=0, \]则称\(\{f_k(x)\}\)为\(E\)上的依测度Cauchy基本列。
Cauchy基本列有唯一极限，依测度收敛函数也不例外，在\(E\)上存在几乎处处有限的可测函数\(f(x)\)使得\(\{f_k(x)\}\)依测度收敛于\(f(x)\)。（证明3-6）
由于依测度收敛函数的不收敛集位置不固定，所以其运算性质也与一般的收敛函数不同。下面给出测度收敛函数的几个运算性质。以下均假设\(f_k\stackrel{m}\Rightarrow f\)，\(g_k\stackrel{m}\Rightarrow g\)。
- \(f_k\pm g_k\stackrel{m}\Rightarrow f\pm g\)，\(cf_k\stackrel{m}\Rightarrow cf\)。
- \(|f_k|\stackrel{m}\Rightarrow |f|\)。
- \(\min\{f_k,g_k\}\stackrel{m}\Rightarrow \min\{f,g\}\)，\(\max\{f_k,g_k\}\stackrel{m}\Rightarrow \max\{f,g\}\)。
- 若\(f_k\stackrel{m}\Rightarrow 0\)，则\(f_k^2\stackrel{m}\Rightarrow 0\)。
- 如果\(m(E)<\infty\)，则\(f_kh\stackrel{m}\Rightarrow fh\)，\(f_k^2\stackrel{m}\Rightarrow f^2\)，\(f_kg_k\stackrel{m}\Rightarrow fg\)。这里\(h\)是可测函数。
- 设在\([a,b]\)上\(f_k\stackrel{m}\Rightarrow f\)，而\(g\)是\(\mathbb{R}\)上的连续函数，则\(g\circ f_k\stackrel{m}\Rightarrow g\circ f\)。
要注意，第五点中，\(m(E)<\infty\)是必要的，不满足这个条件很可能出错。如
显然有\(f_k\stackrel{m}\Rightarrow f\)，但是\(f_k^2\stackrel{m}\nRightarrow f^2\)。我们这里给出第五点的证明。
令\(E_n=\{x:|h(x)|\le n\}\)，可知\(E_n\)是单调递增的集列，我们有
\[E=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x:|h(x)|\le n\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n. \]故\(\displaystyle{m(E)=\lim_{n\to \infty}m(E_n)}\)，结合\(m(E)<\infty\)，可得\(\forall \delta>0\)，都存在\(n\)使\(m(\{x:|h(x)|>n\})<\delta\)。
现令\(B=\{x:|h(x)|<n\}\)，\(A=\{x:|f_k(x)h(x)-f(x)h(x)|>\varepsilon\}\)，则
\[\begin{aligned} A\cap B&=\{x:|f_n(x)-f(x)|\cdot |h(x)|>\varepsilon\}\cap\{x:|g(x)|\le n\}\\ &\subset \{x:|f_n(x)-f(x)|>\frac{\varepsilon}{n}\},\\ A&=\{x:|f_n(x)h(x)-f(x)h(x)|>\varepsilon\}\\ &=(A\cap B)\cup(A\cap B^c)\\ &\subset \{x:|f_n(x)-f(x)|>\frac{\varepsilon}{n}\}\cup B^c, \end{aligned} \]由于\(f_k\stackrel{m}\Rightarrow f\)，故\(n\to \infty\)时，\(\{x:|f_n(x)-f(x)|>\dfrac{\varepsilon}{n}\}\)测度趋近于\(0\)，而\(B^c\)也测度趋近于\(0\)，故\(A\)的测度趋近于\(0\)，这就说明\(f_kh\stackrel{m}\Rightarrow fh\)。
接下来，由于\((f_k-f)^2\stackrel{m}\Rightarrow 0\)，展开就得到\(f_k^2\stackrel{m}\Rightarrow f^2\)，再由
\[f_kg_k=\frac{[(f_k+g_k)]^2-[(f_k-g_k)]^2}{4}, \]得到\(f_kg_k\stackrel{m}\Rightarrow fg\)。
4. 可测函数的逼近
可测函数可以由简单函数逼近。
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简单函数：设\(f(x)\)是定义在\(E\subset \mathbb{R}^n\)上的实值函数，若\(\{y:y=f(x),x\in E\}\)是有限集，则称\(f(x)\)为\(E\)上的简单函数。
令\(E_i=f^{-1}(\{c_i\})\)，\(c_i\in \{y:y=f(x),x\in E\}\)，则
\[f(x)=\sum_{i=1}^{p}c_i\chi_{E_i}(x). \] -
阶梯函数：若每个\(E_i\)是矩体（可以\(m(E_i)=\infty\)），则称这样的简单函数为阶梯函数。
我们所研究的简单函数，只针对各\(E_i\)均可测的简单函数，即可测简单函数。显然，若\(f(x),g(x)\)是简单函数，则\(f(x)\pm g(x)\)，\(f(x)g(x)\)均为简单函数。
下述定理十分重要，它往往可以用于证明一些可测函数相关结论。
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非负简单函数渐升逼近：若\(f(x)\)是\(E\)上的非负可测函数，则存在非负可测的渐升可测函数列\(\varphi_k(x)\)，使得
\[\lim_{k\to \infty}\varphi_k(x)=f(x). \] -
一般可测函数逼近：若\(f(x)\)是\(E\)上的可测函数，则存在可测简单函数列\(\{\varphi_k(x)\}\)，\(|\varphi_k(x)|\le |f(x)|\)，且有
\[\lim_{k\to \infty}\varphi_k(x)=f(x). \]如果\(f(x)\)有界，则上述收敛还是一致的。
构造这样的简单函数的过程，实际上是一边细化值域区间，一边向外扩张，并取值域区间的最小值作为值域区间内的函数取值。
可测函数可以由连续函数逼近。
- Lusin定理：若\(f(x)\)是\(E\subset\mathbb{R}^n\)上几乎处处有限的可测函数，则任给\(\delta>0\)，存在\(E\)中的闭集\(F\)，使得\(m(E\setminus F)<\delta\)，\(f(x)\)是\(F\)上的连续函数。（证明3-7）
Lusin定理对可测函数本身没有任何要求，因此可以把它看作可测函数性质的一种描述：总可以在一个小测度集以外连续。同时，这个小测度集也不能再缩小为零测集。
同时，Lusin定理的重要意义还在于，可测函数可以在这个闭集内解析延拓，使\(E\setminus F\)内\(f(x)=g(x)\)，这里\(g(x)\)是\(\mathbb{R}^n\)上的连续函数。这依托于以下的延拓定理：
-
连续延拓：若\(F\)是\(\mathbb{R}^n\)中的闭集，\(f(x)\)是定义在\(F\)上的连续函数且\(|f(x)|\le M\)，则存在\(\mathbb{R}^{n}\)上的连续函数\(g(x)\)满足\(|g(x)|\le M\)且\(x\in F\)时，\(g(x)=f(x)\)。（证明3-8）
这里\(|f(x)|\le M\)是非必要的，只需作变换\(\arctan f(x)\)即可。但是\(|f(x)|\)的界同时也是\(g(x)\)的界，这是\(f(x)\)有界的意义。
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Lusin定理推论：若\(f(x)\)是\(E\subset \mathbb{R}^n\)上几乎处处有限的可测函数，则对任给的\(\delta>0\)，存在\(\mathbb{R}^n\)上的一个连续函数\(g(x)\)，满足\(\displaystyle{\sup_{x\in E}f(x)\ge \sup_{x\in \mathbb{R}^n}g(x)}\)，且\(m(\{x:f(x)\ne g(x)\})<\delta\)。
这样，我们就得到了连续函数逼近可测函数的结论。
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可测函数用连续函数逼近：若\(f(x)\)是\(E\subset \mathbb{R}^n\)上几乎处处有限的可测函数，则存在\(\mathbb{R}^n\)上的连续函数列\(\{g_k(x)\}\)使得
\[\lim_{k\to \infty}g_k(x)=f(x),\quad \mathrm{a.e.} \]这是因为，我们可以按Lusin定理所指示的选择一列趋近于\(f(x)\)的连续函数\(g_k(x)\)，使得
\[m(\{g_k(x)\ne f(x)\})<\frac{1}{k}, \]从而\(g_k(x)\)依测度收敛于\(f(x)\)，再由Riesz定理从\(g_k(x)\)中抽取一个子列\(g_{k_i}(x)\)便几乎处处收敛于\(f(x)\)。
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要注意的是，几乎处处收敛的结论不能再改进为处处收敛。
