【实变函数】二、测度理论
【实变函数】2. 测度理论
本文对测度理论进行介绍，这一部分是勒贝格积分的基础，承上启下。文中所提到的证明点此查看。
1. 外测度
对于规则矩体，我们很容易定义它们的体积；而\(\mathbb{R}^n\)中的不规则形状，体积定义则相对困难。外测度给出了一种定义\(\mathbb{R}^n\)中任意集合的“体积”的方式，这种“体积”被称为外测度。
- 外测度：若\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)的任何子集，则\(E\)的外测度是\[m^*(E)=\inf\sum_{j=1}^{\infty}|Q_j|, \]其中下确界对所有覆盖\(\displaystyle{E\subset \bigcup_{j=1}^{\infty}Q_j}\)的可数个开方体取值，有\(0\le m^*(E)\le \infty\)。
为了对外测度这一定义加以使用，必须看到它与体积的类似之处。如（证明2-1）
- 单点集的外测度为\(0\)。
- 矩体的外测度等于它的体积，无论是开方体还是闭方体。
对于外测度，最重要的是它的性质，以下罗列出它的几个性质。
- 单调性：若\(E_1\subset E_2\)，则\(m^*(E_1)\subset m^*(E_2)\)。
- 可数次可加性：若\(\displaystyle{E=\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j}\)，则\(m^*(E)\le \displaystyle{\sum_{j=1}^{\infty}m^*(E_j)}\)。注意外测度只有次可加性，而没有严格的可列可加性，这一点由以后不可测集的构造就可以看出。
- 等价定义：\(m^*(E)=\inf m^*(O)\)，这里\(O\)是包含\(E\)的开集。
- 可分离可加性：若\(E=E_1\cup E_2\)且\(d(E_1,E_2)>0\)，则\(m^*(E)=m^*(E_1)+m^*(E_2)\)。
- 平移不变性：记\(E+x_0:=\{x+x_0:x\in E\}\)，则\(m^*(E)=m^*(E+x_0)\)。
2. 可测集
我们说外测度具有可数次可加性，但我们希望它拥有可列可加性，为了满足这个条件，将不满足可列可加性的这些集合去掉，剩下的集合就具有可列可加性，我们称这些集合为可测集。对于可测集，我们称其外测度为测度，记作\(m(E)=m^*(E)\)。
一种较为复杂的定义方式是利用卡氏条件定义，此外，还有一些简单的定义方式，罗列如下。
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卡氏条件：设\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若对任意的点集\(T\subset \mathbb{R}^n\)，有
\[m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c), \]就称\(E\)为可测集。
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开集：设\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若对任意\(\varepsilon>0\)，存在开集\(G\supset E\)使得\(m^*(G-E)<\varepsilon\)，则\(E\)是可测集。
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闭集：设\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若对任意\(\varepsilon>0\)，存在闭集\(F\subset E\)使得\(m^*(E-F)<\varepsilon\)，则\(E\)是可测集。
以上三个定义是相互等价的（证明2-2），但是对定义等价性的证明，要用到可测集的相关性质，这些性质都可以由可测集的定义推出。首先，我们引入可测集是因为希望它满足可列可加性，那么它至少满足有限可加性，我们可以给出如下的较强结论：
-
测度的有限可加性：若两个集合关于一个可测集可分，即存在可测集\(S\)使得\(E_1\subset S\)，\(E_2\subset S^c\)，则
\[m^*(E_1\cup E_2)=m^*(E_1)+m^*(E_2), \]这是因为
\[m^*(E_1\cup E_2)=m^*((E_1\cup E_2)\cap S)+m^*((E_1\cup E_2)\cap S^c)=m^*(E_1)+m^*(E_2). \]这样，如果\(E_1,E_2\)本身是可测集，自然满足有限可加性。
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测度的可列可加性：首先要知道集合的可列并仍是可测集（证明2-3），于是就有
\[m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i \right)=\sum_{i=1}^{\infty}m(E_i). \]这里\(E_i\)是互不相交的可测集。
接下来给出可测集的一些性质。
首先是关于“什么集合是可测的”的相关结论，其中烧难的是\(E_1\cup E_2\)可测。（证明2-3）
- 零测集是可测集。
- 若\(E\)是可测集，则\(E^c\)是可测集。
- 若\(E_1,E_2\)是可测集，则\(E_1\cup E_2\)，\(E_1\cap E_2\)，\(E_1-E_2\)都是可测集。可测集的可列并、可列交是可测集。
- 开集与闭集是可测集，所有Borel集合都是可测集。
我们证明了可测集列的极限仍然是可测集，那么可测集列极限的测度就是不可避免的问题，好在许多情况下，可测集列的极限的测度，就是可测集列测度的极限。以下是关于可测集的极限列的测度关系（证明2-4）。
-
若有递增可测集列\(E_1\subset E_2\subset \cdots\subset E_k\subset \cdots\)，则
\[m^*\left(\lim_{k\to \infty}E_k \right)=\lim_{k\to \infty}m(E_k). \] -
若有递减可测集列\(E_1\supset E_2\supset \cdots\supset E_k\supset \cdots\)，且\(m(E_1)<\infty\)，则
\[m^*\left(\lim_{k\to \infty}E_k \right)=\lim_{k\to \infty}m(E_k). \]这里集合测度有限的条件不可缺少。如果对每一个\(k\)，\(m(E_k)=\infty\)，则其极限的测度可能为\(0\)，可能为\(\infty\)，也可能为任意常数。
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若有可测集列\(\{E_k\}\)使得\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}m(E_k)<\infty}\)，则\(\displaystyle{m\left(\varlimsup_{k\to \infty}E_k \right)=0}\)。利用此性质，有时可以构造出一列\(E_k\)，使它们的测度之和有限（往往用于证明小测度性质）。
前面我们证明了所有Borel集都是可测集，但是否所有可测集都是Borel集？实际上存在非Borel集的可测集，但是我们可以证明可测集与Borel集之间仅差一个零测集。我们有以下的定理，证明略。
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\(G_{\delta}\)集：设\(E\subset \mathbb{R}^n\)是可测集，则存在\(G_{\delta}\)集\(H\supset E\)使得\(m^*(H-E)=0\)，
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\(F_{\sigma}\)集：设\(E\subset \mathbb{R}^n\)是可测集，则存在\(F_{\sigma}\)集\(K\subset E\)使得\(m^*(E-K)=0\)。
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开集与闭集：设\(E\subset \mathbb{R}^n\)是可测集，则存在可测集\(F\)和\(G\)使\(F\subset E\subset G\)，且\(m(G-F)<\varepsilon\)。常取\(G\)为开集，\(F\)为闭集。
3. 正测度集
正测度集与零测集相比，由于集合的点要占据集合中一定的体积，因此它必然有一大堆点聚集在集合的某一范围内，而占据着某个覆盖矩体的大部分地区，这意味着正测度集和矩体之间存在一定联系。以下定理证明，对任何缩小因子\(\lambda\)，总能存在某个矩体，它的测度被缩小后，要小于这个矩体内集合的测度。
- 定理：设\(m(E)>0\)，对任何\(\lambda\in (0,1)\)，存在矩体\(I\)使得\(\lambda |I|<m(I\cap E)\)。
如何找到这样的矩体？我们应当从其\(L-\)覆盖找，可以找到一列\(L-\)覆盖使得\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}|I_k|<\frac{1}{\lambda}m(E)}\)，因为要证明即使\(\lambda\)再接近\(1\)，都能找到这样的矩体，所以我们在寻找开覆盖时，应寻找测度仅比\(m(E)\)大一点的开覆盖。下一步就是用\(L-\)覆盖分划集合\(E\)，也就有
这样，至少有一个\(I_k\)使得\(\lambda|I_k|<m(I_k\cap E)\)，这就证明了所需的结论。
由这个结论，我们可以给出下面的定理，它表明向量差集必定包含原点的某个邻域：
- 定理：设\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)中的正测度集，记\(E-E=\{x-y:x,y\in E\}\)，则存在\(\delta_0>0\)，使得\[E-E\supset B(0,\delta_0). \]
这个定理可以作为柯西函数方程的基础。（证明2-6）
- 定理：若函数\(f\)定义在\(\mathbb{R}\)上，满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且在\(\mathbb{R}\)的某个正测度子集\(E\)（\(m(E)>0\)）上有界，则必有\(f(x)=cf(1)\)。
现在我们来讨论Cantor集的测度性质。我们已经知道Cantor集具有连续统势，但同时，它也是一个零测集，只需注意到每一步去掉的\(2^{k-1}\)个区间长度为\(\dfrac{1}{3^{k}}\)，于是Cantor集被去掉开区间的测度为
Cantor集是一个神奇的例子，它给出了\([0,1]\)上一个完备集（没有孤立点的闭集），无处稠密且具有连续统势，但其测度为\(0\)。现在我们要介绍类Cantor集，它同样是具有连续统势、无处稠密的完备点集，但与Cantor集不同的是，它可以拥有\((0,1)\)上的任何测度值\(a\)，不妨记这样的集合为\(C^{a}\)。如何构造这样的类Cantor集？
我们不妨先思考如何构造完备集，尤指\(\mathbb{R}\)上的完备集。注意到\(\mathbb{R}\)上的完备集\(P\)是没有孤立点的闭集，从而\(P^c\subset \mathbb{R}\)必定是开集，而\(\mathbb{R}\)上的开集特殊之处就在于，它是由构成区间组成的，也就是说\(P^c\)实际上是一列不交开区间的并。接下来考虑孤立点，为使\(P\)没有孤立点，只需要这些开区间没有公共端点即可。综上，我们知道，为构造完备集，可以从闭区间开始，每次去掉闭区间中间的某个开区间，对剩下的闭区间执行同样的步骤，得到的集都是完备集。事实上有如下定理：\(\mathbb{R}\)上的非空完备集具有连续统势。
现在转向类Cantor集构造。在构造Cantor集中，每次去掉的是区间正中的\(\dfrac{1}{3}\)，想要构造测度为\(a\in(0,1)\)的完备集，只要将去掉的部分由原区间的\(\dfrac{1}{3}\)改为\(\dfrac{1-a}{3}\)即可，根据之前的分析，去掉的区间测度和为\(1-a\)，所以剩下的集合测度为\(a\)。事实上，我们可以从\(\mathbb{R}\)上任何一个测度为\(M\)的区间出发，最终得到一个测度为\(\lambda M(0\le \lambda< 1)\)的完备集，此完备集无处稠密。
有了这个结论，我们可以证明以下命题（证明2-7）：
- 存在\([0,1]\)中的可测集\(E\)，使得对\([0,1]\)中的任一开区间\(I\)，有\[0<m(E\cap I)<m(I). \]
4. 不可测集
对不可测集，我们只要知道任何正测度集中均含不可测子集即可。具体的构造需要用到选择公理，接下来构造衣个不可测集。
设\(\mathbb{Q}^{n}\)是\(\mathbb{R}^n\)中的有理点集，对\(\mathbb{R}^n\)中的点\(x,y\)，若\(x-y\in \mathbb{Q}^n\)，则记\(x\sim y\)，这是一个等价关系，将\(\mathbb{R}^n\)划分成若干个互达等价类。根据选择公理，在这每一类中仅取出一元，构造点集\(W\)，这个\(W\)是不可测集。要证明\(W\)不可测，只需证明它不满足可测集的测度可加性即可。
假设\(m(W)>0\)，则存在球\(B(0,\delta)\)使\(B\subset W-W\)，所以存在\(x\in (W-W)\cap \mathbb{Q}^n\)且\(x\notin 0\)，那么\(x\sim 0\)，这与\(W\)的构造矛盾。
假设\(m(W)=0\)，那么\(\displaystyle{\mathbb{R}^n=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{W+r_k\}}\)，这里\(\{r_k\}_{k\ge 1}=\mathbb{Q}^n\)。由\(W\)的构造，这些\(\{W+r_k\}\)必两两不交，从而由测度的可列可加性，有\(m(\mathbb{R}^n)=0\)的矛盾。
