【实变函数】一、基础知识
【实变函数】1. 预备知识
本文的复习内容是实变函数的基础，即关于集合、集合运算、集合的势、集合的结构等基本问题。文中所提到的证明点此查看。
1. 开集与闭集
集合的结构是我们日后最经常接触到的的问题，开集、闭集是两种常用的集合结构。
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开球：\(\mathbb{R}^n\)中以\(x\)为中心，\(r\)为半径的开球定义为
\[B_{r}(x)=\{y\in\mathbb{R}^n:|y-x|<r\}. \] -
开集：对\(\mathbb{R}^n\)中的子集\(E\)，若对每个\(x\in E\)，存在\(r>0\)使得\(B_{r}(x)\subset E\)，则\(E\)为开集。
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闭集：对\(\mathbb{R}^n\)中的子集\(E\)，若\(E\)包含\(E\)的一切极限点，即\(E\supset E'\)，则\(E\)为闭集。
这里，\(E'\)为集合的导集，即\(E\)的一切极限点构成的集合。所谓极限点，它是与孤立点相反的概念，即如果存在\(E\)中的互异点列\(\{x_k\}\)使得\(\displaystyle{\lim_{k\to \infty}|x_k-x|=0}\)，则\(x\)称为\(E\)的极限点（记作\(x\in E'\)）。反之，如果存在某\(\delta>0\)使得\(B_\delta(x)\)内没有\(E\)的其他点，则称\(x\)为\(E\)的孤立点。由上述定义可以知道，对于集合\(E\)，它的点或为孤立点，或为极限点。
关于极限点，有如下的\(\mathbb{R}^n\)中的Bolzano-Weierstrass定理：
- \(\mathbb{R}^n\)中任一有界无限点集\(E\)至少有一个极限点。
这里，有界集指的是集合\(E\)含于某个半径有限的球。
由前述定义，我们可以知道若\(E\)是开集，则\(E^c\)是闭集（证明1-1）。
紧集是一种特殊的闭集，它相比于一般闭集，是有界的。而正是其有界性，赋予了其Heine-Borel覆盖性质。下面我们将给出两个重要定理：
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Cantor闭集套定理：若\(\{F_k\}\)是\(\mathbb{R}^n\)中的非空有界闭集列，且满足\(F_k\supset F_{k+1}\)，则
\[\bigcap_{k=1}^{\infty}F_k\ne \varnothing. \] -
Heine-Borel有限子覆盖定理：\(\mathbb{R}^n\)中有界闭集的任一开覆盖均含有一个有限子覆盖。
完备集指的是不含任何孤立点的闭集。我们知道，一个集合是闭集当且仅当它包含它的所有极限点，再结合其没有孤立点的性质，可知完备集指的是满足\(E=E'\)的集合\(E\)。
- 完备集：不含任何孤立点的闭集。
有一种奇特的完备集是Cantor完备集，为了构造Cantor集，先提出以下基本定理：
- 一族开集的并是开集，有限个开集的交是开集。
- 一族闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
现在来构造Cantor集，其构造方式如下：
从单位闭区间\(C_0=[0,1]\)开始，令\(C_1\)为从\([0,1]\)去掉中间\(1/3\)的开集后余下的部分，即
\[C_1=[0,1/3]\cup [2/3,1]. \]接着，对\(C_1\)的每个子区间重复该过程，得到\(C_2\)，即
\[C_2=[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup[2/3,7/9]\cup[8/9,1]. \]重复此流程，得到紧集序列\(C_1\supset C_2\supset C_3\supset\cdots\)，取这些所有\(C_k\)的交，就构成Cantor集。
\[C=\bigcap_{k=1}^{\infty}C_k. \]
由Cantor闭集套定理可知\(C\)非空，但是，它还是完全不连通的完备集。（证明1-2）
而对于开集，它们总有特殊的结构，这些结构为我们后续的讨论提供了便利。以下定理中，几乎不交指的是仅边界相交。
- \(\mathbb{R}\)中的每个开集\(G\)可唯一地写成可数个不相交的开区间的并。（这个结论对于高维空间不成立，证明1-3）
- \(\mathbb{R}^{n}(n\ge 1)\)中的每个开集\(G\)可唯一地写为可数个几乎不交的闭方体的并。
最后，关于\(\mathbb{R}^n\)中集合的结构，我们需要指出以下概念。设\(E\subset \mathbb{R}^n\)。
- 内点：存在\(\delta>0\)，使\(B_{\delta}(x)\subset E\)，则\(x\)称为\(E\)的内点。
- 内核：\(E\)的全体内点构成的集合，记作\(E^{\circ}\)。
- 边界点：若\(x\in E'\)但\(x\notin E^{\circ}\)，即对任何\(\delta>0\)，\(B_{\delta}(x)\)都与\(E\)相交但不完全包含在\(E\)中，则\(x\)称为\(E\)的边界点。
- 边界：\(E\)的全体边界点构成的集合，记作\(\partial E\)。
- 闭包：\(E\)的全体点及其极限点构成的集合，记作\(\overline{E}\)，即\(\overline{E}=E\cup E'\)。
2. \(F_{\sigma}\)集和\(G_{\delta}\)集
我们前面提到，可数个闭集的并不一定是闭集，可数个开集的交也不一定是开集。为了刻画这两种特殊的集，我们以下将提出\(F_{\sigma}\)集与\(G_{\delta}\)集的概念。
- \(F_{\sigma}\)集：可数个闭集的并是\(F_{\sigma}\)型集。
- \(G_{\delta}\)集：可数个开集的交是\(G_{\delta}\)型集。
由定义，\(F_{\sigma}\)集的补集是\(G_{\delta}\)集，反之也成立。很容易举出例子以证明\(F_{\sigma}\)集不一定是闭集，\(G_{\delta}\)集不一定是开集。如有理数集\(\mathbb{Q}\)就是\(F_{\sigma}\)集（但不是闭集，因为\(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\)），相反无理数集\(\mathbb{R}-\mathbb{Q}\)就是\(G_{\delta}\)集。
作为\(F_{\sigma}\)集和\(G_{\delta}\)集的应用，它们常用于描述函数的性质，如实函数的连续点是\(G_{\delta}\)集。（证明1-4，1-5）
介绍\(F_{\sigma}\)集与\(G_{\delta}\)集主要是为了介绍集合的疏密性，为此，我们给出\(\mathbb{R}^n\)中稠集与疏集的概念。
- 稠密集：若\(\overline{E}=\mathbb{R}^n\)，则\(E\)称为\(\mathbb{R}^n\)中的稠密集。（显然，疏朗集没有内点）
- 无处稠密集（疏朗集）：若\((\overline{E})^{\circ}=\varnothing\)，则\(E\)称为\(\mathbb{R}^n\)中的无处稠密集。此定义等价于\(E\)不在\(\mathbb{R}^n\)的任何一个非空开子集中稠密。（证明1-6）
- 第一纲集：可数个疏朗集的并称为第一纲集。
- 第二纲集：不是第一纲的集合称为第二纲集。
Baire定理是用于描述\(F_{\sigma}\)集与其结构集的关系的定理。
- Baire定理：设\(E\subset \mathbb{R}^n\)是\(F_{\sigma}\)集，有\(E=\displaystyle{\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k}\)。若每个\(F_k\)均无内点，则\(E\)也无内点。
由Baire定理容易证明，区间是第二纲集。还可以证明：\(\mathbb{R}^n\)中可列个稠密开集列的交仍是稠密的（证明1-7）。
3. 部分定理
这一部分，给出有关集合的一些重要定理。
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\((A^{c})^{\circ}=(\overline{A})^{c}\)，\(\overline{A^c}=(A^{\circ})^{c}\)。
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\(\mathbb{R}^{n}\)中任一集的导集是闭集。
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对\(\mathbb{R}^n\)上的连续函数\(f\)，\(\{x:f(x)\ge t\}\)和\(\{x:f(x)\le t\}\)都是闭集。
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\(\mathbb{R}^n\)中闭集是可列个开集的交，开集是可列的闭集的并。
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\(\mathbb{R}\)中可列个稠密开集的交是一个稠密集。
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\(E\)是疏朗集\(\Leftrightarrow(\overline{E})^c\)是稠密集。
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\(\mathbb{R}^n\)开集\(G\)上的实值函数，连续点集是\(G_{\delta}\)集。
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\(\mathbb{R}\)上连续函数\(f\)的可导点集为\(F_{\sigma\delta}\)集。
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设\(F_1,F_2\)为两非空有界闭集，且\(F_1\cap F_2=\varnothing\)，则\(d(F_1,F_2)>0\)。
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若\(F_1,F_2\)是\(\mathbb{R}^n\)中的闭集且\(F_1\cap F_2=\varnothing\)，则存在开集\(G_1\supset F_1\)，\(G_2\supset F_2\)使\(G_1\cap G_2=\varnothing\)。
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对不交非空闭集\(F_1,F_2\)，存在\(\mathbb{R}^n\)上的连续函数\(f\)，使\(f(F_1)=0\)，\(f(F_2)=1\)，且\(f(x)\le 1\)。这样的函数是
\[f(x)=\frac{d(x,F_1)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}. \]
尽管没有在前面专门讨论映射与集合运算，不过也有一些关于映射与集合运算的定理。
- \(\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n-\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}(A_n-B_n)}\)，\(\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty}(A-A_n)=A-\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}\)。
- \(\displaystyle{f\left(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha} \right)=\bigcup_{\alpha\in I}f(A_{\alpha})}\)，\(\displaystyle{f\left(\bigcap_{\alpha\in I}A_{\alpha} \right)\subset \bigcap_{\alpha\in I}f(A_\alpha)}\)。
- \(\displaystyle{f^{-1}\left(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha} \right)=\bigcup_{\alpha\in I}f^{-1}(A_{\alpha})}\)，\(\displaystyle{f^{-1}\left(\bigcap_{\alpha\in I}A_{\alpha} \right)=\bigcap_{\alpha\in I}f^{-1}(A_\alpha)}\)，\(f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(b))^c\)。
- 若\(A\subset B\)，则\(f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)\)。
- 若\(X\)与\(Y\)的某个真子集对等，\(Y\)与\(X\)的某个真子集对等，则\(X\sim Y\)。
