线性代数应该这样学8：不变子空间、限制算子和商算子、算子的幂与多项式
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Part 1：不变子空间
不变子空间(invariant subspace) 设\(T\in\mathcal L(V)\)，如果\(\forall u\in U\)都有\(Tu\in U\)，则称\(V\)的子空间\(U\)在\(T\)下不变。
- \(U\)在\(T\)下不变，当且仅当\(T|_U\)是\(U\)上的算子，即\(T|_U\in \mathcal L(U)\)。
- \(\forall T\in\mathcal L(V)\)，\(\{0\},V,\mathrm{null}T,\mathrm{range}T\)都是\(V\)在\(T\)下的不变子空间。
- 显然\(\{0\}\)和\(V\)都是\(T\)下的不变子空间，它们是平凡的。尽管\(\mathrm{null}T\)和\(\mathrm{range}T\)也是不变子空间，但它们也可能是\(\{0\}\)或者\(V\)。
注意，不变子空间只保证映射到的像仍在子空间里，但不保证映射到的子空间仍是原空间，可能是原空间的一个子空间。
本征值(eigenvalue) 设\(T\in\mathcal L(V)\)，对于某个\(\lambda\in\mathbb{F}\)，若存在\(v\in V\)使得\(v\ne 0\)且\(Tv=\lambda v\)，则称\(\lambda\)为\(T\)的本征值。
如果\(T\)有本征值\(\lambda\)使得\(\lambda v=Tv\)，则\(\mathrm{span}(v)\)是\(T\)下不变的一维不变子空间。
本征值的等价条件 设\(V\)是有限维的，\(T\in\mathcal L(V)\)且\(\lambda\in\mathbb{F}\)，则以下四点等价：
- \(\lambda\)是\(T\)的本征值。
- \(T-\lambda I\)不是单的。
- \(T-\lambda I\)不是满的。
- \(T-\lambda I\)不是可逆的。
本征向量(eigenvector) 设\(T\in\mathcal L(V)\)，\(\lambda\in\mathbb{F}\)是\(T\)的本征值使得\(Tv=\lambda v\)，则称向量\(v\ne 0\)是\(T\)的对应于本征值\(\lambda\)的本征向量。
要求本征值和本征向量，就是求\((T-\lambda I)v=0\)的解，即\(v\in\mathrm{null}T\)，找到使得\(T-\lambda I\)不可逆的\(\lambda\)即可。
不同本征值对应的本征向量线性无关 设\(T\in\mathcal L(V)\)，\(\lambda_1,\cdots,\lambda_m\)是\(T\)的互不相同的本征值，并设相应的本征向量为\(v_1,\cdots,v_m\)，则\(v_1,\cdots,v_m\)线性无关。
设\(v_1,\cdots,v_m\)线性相关，则必存在一个\(k\)使得\(v_1,\cdots,v_{k-1}\)线性无关，但\(v_1,\cdots,v_k\)线性相关，从而\(v_k\)可以被\(v_1,\cdots,v_{k-1}\)线性表示。不妨设
\[v_k=a_1v_1+\cdots+a_{k-1}v_{k-1}. \]两边同时用\(T\)作用，得到
\[Tv_k=a_1Tv_1+\cdots+a_{k-1}Tv_{k-1},\\ \lambda_kv_k=a_1\lambda_1 v_1+\cdots+a_{k-1}\lambda_{k-1}v_{k-1}. \]如果两边不用\(T\)作用，而是直接乘\(\lambda_k\)，则
\[\lambda_k=a_1\lambda_kv_1+\cdots+a_{k-1}\lambda_kv_{k-1}. \]将以上两式作差得
\[a_1(\lambda_1-\lambda_k)v_1+\cdots+a_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)v_{k-1}=0, \]由于\(\lambda_1,\cdots,\lambda_k\)互不相等，且\(v_1,\cdots,v_{k-1}\)线性无关，所以有
\[a_1=\cdots=a_{k-1}=0, \]从而\(v_k=0\)，自然不能成为本征向量，推出矛盾。
由此，本征值个数有上线，因为\(V\)中最多可能有\(\dim V\)个线性无关的向量，假设他们全是本征向量，则对应的本征值个数就不可能超过\(\dim V\)。
本征值的个数 设\(V\)是有限维的，则\(V\)上的每个算子最多有\(\dim V\)个互不相同的本征值。
Part 2：限制算子与商算子
限制算子(restriction operator) 设\(T\in\mathcal L(V)\)，且\(U\)是\(V\)在\(T\)下的不变子空间，则限制算子定义为\(T|_U\in\mathcal L(U)\)，\(\forall u\in U\)，有
限制算子就是将原算子的定义域分解到一个不变子空间上，既然这个子空间在\(T\)下不变，自然\(Tu\in U\)，所以这个算子确实是\(U\)上的算子。
商算子(quotient operator) 设\(T\in\mathcal L(V)\)，且\(U\)是\(V\)在\(T\)下的不变子空间，则商算子\(T/U\in\mathcal L(V/U)\)定义为
商算子着眼于商空间上，关于商空间上定义的合理性往往是需要验证的。
设\(v+U=w+U\)，则\(w-v\in U\)。由于\(U\)在\(T\)下不变，所以\(T(w-v)\in U\)，故
\[Tv+U=Tw+U, \]这说明了该映射的合理性。
对于\(v,w\in V\)，验证此算子的加性，有
\[\begin{aligned} &\quad (T/U)[(v+U)+(w+U)] \\ &=(T/U)(v+w+U)\\ &=Tv+Tw+U\\ &=(Tv+U)+(Tw+U)\\ &=(T/U)(v+U)+(T/U)(w+U). \end{aligned} \]对于\(v\in V\)，验证此算子的齐性，有
\[\begin{aligned} &\quad (T/U)[\lambda v+U]\\ &=\lambda Tv+U\\ &=\lambda[(T/U)(v+U)]. \end{aligned} \]故商算子是一个合理定义的线性映射。
既然限制算子和商算子是基于一个不变子空间来描述算子的，它们就可以描述原算子的部分信息，但不是全部。
Part 3：算子多项式
算子的幂(power) 设\(T\in\mathcal L(V)\)，\(m\)为正整数，则定义
- 特别地，定义\(T^0=I\)，是\(V\)上的恒等映射。
- 若\(T\)是可逆的，则记\(T^{-m}=(T^m)^{-1}=(T^{-1})^m\)。
- \(T^mT^n=T^{m+n}\)，\((T^m)^n=T^{mn}\)。
关于第二点，有
\[(T^{-1})^m\cdot T^m=\underbrace{T^{-1}\cdots T^{-1}}_{m\text{ items}}\underbrace{T\cdots T}_{m\text{ items}}=\underbrace{T^{-1}\cdots T^{-1}}_{m-1\text{ items}}I\underbrace{T\cdots T}_{m-1\text{ items}}=\cdots=I. \]所以\((T^m)^{-1}=(T^{-1})^m\)。
关于第三点，直接展开即可。
算子的多项式 设\(T\in\mathcal L(V)\)，\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，对\(z\in\mathbb{F}\)，有\(p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m\)，则定义\(p(T)\)为
- 算子的多项式（包括算子的幂）是线性映射。
多项式乘积 若\(p,q\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，则\((pq)\in\mathcal P(\mathbb{F})\)定义为：\(\forall z\in\mathbb{F}\)，有
- \((pq)(T)=p(T)q(T)\)。
- \(p(T)q(T)=q(T)p(T)\)，即多项式对算子的乘积是可交换的。
设\(p(z)=\sum_{j=0}^m a_jz^j\)，\(q(z)=\sum_{k=0}^n b_kz^k\)，则
\[(pq)(z)=\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^n a_jb_kz^{j+k}, \]故
\[(pq)(T)=\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^n a_jb_kT^{j+k}=\sum_{j=0}^ma_jT^j \sum_{k=0}^nb_kT^k=p(T)q(T). \]从而\(p(T)q(T)=(pq)(T)=(qp)(T)=q(T)p(T)\)。
