线性代数应该这样学3：基与维数
在本系列中，我的个人见解将使用斜体标注。每篇文章的最后，我将选择摘录一些例题。由于文章是我独自整理的，缺乏审阅，难免出现错误，如有发现欢迎在评论区中指正。
Part 1：基
基的定义是源自于上一节中得到的几个结论：
- 线性相关的向量组总是可以归约成线性无关的。
- 有限维向量空间中，线性无关组的长度总是小于张成组的长度。
- 有限维向量空间中，线性无关张成组的长度是唯一的。
基(base) 若\(V\)中的一个向量组既线性无关又张成\(V\)，则称为\(V\)的基。
\(\mathbb{F}^n\)的标准基指的是\((1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,1)\)这个向量组，也可以记作\(e_1,e_2,\cdots,e_n\)，在有些地方也称为自然基，因为这样的一组基显得很自然。
基的判定准则 \(V\)中的向量组\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基当且仅当每一个\(v\in V\)都能唯一地写成以下的形式：
要证明向量组是基，关键在于两点：一是证明这个向量组张成\(V\)，也就是\(V\)中所有向量可以被它们线性表示，二是证明这个向量组线性无关。这个定义之中，前半部分指出了每一个\(v\)，这就代表了张成组，后半部分指出了表示的唯一性，结合\(0\in V\)就可以得到向量组的线性无关性。
张成组含有基 在向量空间中，每个张成组都可以化简成一个基。
这个定理的重要之处在于，给出了一个基于张成组构造基的方式，因而我们可以删繁就简。
设\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的张成组。对\(j=1,2,\cdots,n\)，每一步中，如果：
- \(v_j\notin\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)（规定空组张成\(\{0\}\)），则往向量组\(B\)中加入\(v_j\)。
- \(v_j\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)，则不向向量组\(B\)中增加\(v_j\)。
经过\(n\)步之后得到的\(n\)，由于每一个向量都不能被其之前的向量线性表示，所以\(B\)是个线性无关向量组。同时，被去掉的那些向量因为都属于部分向量的张成组，所以
\[\mathrm{span}(B)=\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_n). \]所以\(B\)就是我们所需要的基。
从而，由于每一个有限维向量空间都有张成组，所以每一个有限维向量空间都有基。
线性无关组可扩充为基 在有限维向量空间中，每个线性无关的向量组都可以扩充成向量空间的基。
证明过程是找到向量空间的一组基，将这组基一个个尝试向线性无关组里添加，如果添加后线性无关组仍然是线性无关的，则保留，否则不保留这次添加。证明过程比较简单，这里不摘录。
从这里开始，我们必须认识到，每一个向量空间事实上都由它的基所代表，尽管基有无数多组，但这些组之间是同质的，在部分线性代数教材里称这样的向量组是等价的。故对向量空间的讨论，很多时候会着眼于对基的讨论。
\(V\)的每个子空间都是\(V\)的直和项 设\(V\)是有限维的，\(U\)是\(V\)的子空间，则存在\(V\)的子空间\(W\)使得\(V=U\oplus W\)。
因为\(V\)是有限维的，所以\(U\)也是有限维的（上一章中提到的子空间有限维性），因而\(U\)有一个基
\[u_1,\cdots,u_m. \]显然，\(u_1,\cdots,u_m\)线性无关且都属于\(V\)，故可以扩充为\(V\)的一个基：
\[u_1,\cdots,u_m,w_{m+1},\cdots,w_n. \]令\(W=\mathrm{span}(w_{m+1},\cdots,w_n)\)，则\(W\)是一个子空间。为证明\(V=U\oplus W\)，需要证明\(V=U+W\)且\(U\cap W=\{0\}\)。
对于证明\(V=U+W\)，\(\forall v\in V\)，因为\(u_1,\cdots,u_m,w_{m+1},\cdots,w_n\)是\(V\)的一组基，所以
\[v=a_1u_1+\cdots+a_mu_m+a_{m+1}w_{m+1}+\cdots+a_nw_n, \]令
\[u=a_1u_1+\cdots+a_mu_m\in U,\\ w=a_{m+1}w_{m+1}+\cdots+a_nw_{n}\in W. \]则\(v=u+w\)，这就说明\(V=U+W\)。
对于证明\(U\cap W=\{0\}\)，\(\forall v \in U\cap W\)，有
\[v=a_1u_1+\cdots+a_mu_m=a_{m+1}w_{m+1}+\cdots+a_{n}w_n, \]移项得
\[a_1u_1+\cdots+a_mu_m-a_{m+1}w_{m+1}-\cdots-a_nw_n=0, \]又因为\(u_1,\cdots,u_m,w_{m+1},\cdots,w_n\)是\(V\)的基，所以是线性无关的，所以
\[a_1=\cdots=a_m=a_{m+1}=\cdots=a_n=0, \]故\(v=0\)。
Part 2：维数
维数是向量空间的重要属性，它代表了需要多少个线性无关的向量来张成向量空间，这也是有限维向量空间的命名由来。
基的长度不依赖于基的选取 有限维向量空间的任意两个基的长度相同。
这个结论我们之前强调过很多遍了，书上正式给出了这条结论，方便对维数的讨论。
维数(dimension) 有限维向量空间的任意基的长度成为这个向量空间的维数，记作
常用的有限维向量空间的维数：
- \(\mathbb{F}^n\)：\(\dim{\mathbb{F}^n}=n\)，可选自然基\(\{e_1,\cdots,e_n\}\)。
- \(\mathcal P_m(\mathbb{F})\)：\(\dim{\mathcal P_m(\mathbb{F})}=m+1\)，可选\(\{1,z,\cdots,z^m\}\)，我习惯上也称之为自然基。
子空间的维数 若\(V\)是有限维向量空间，\(U\)是\(V\)的子空间，则
这是显然的，因为我们之前说过子空间的基可以扩充为向量空间的基。
具有适当长度的线性无关组是基 若\(V\)是有限维的，则\(V\)中每个长度为\(\dim{V}\)的线性无关组都是\(V\)的基。
这个定理给了我们一种新的验证向量组是基的方式。用这个结论，例题1中的后半部分就可以省略。
设\(\dim{V}=n\)，且\(v_1,\cdots,v_m\)在\(V\)中是线性无关的，则组\(v_1,\cdots,v_n\)可以扩充成\(V\)的基。但是\(V\)的每个基长度都是\(n\)，所以此处的扩充不需要添加任何元素。所以\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基。
具有适当长度的张成组是基 若\(V\)是有限维的，则\(V\)中每个长度为\(\dim{V}\)的张成向量组都是\(V\)的基。
设\(\dim{V}=n\)，且\(v_1,\cdots,v_n\)张成\(V\)，则组\(v_1,\cdots,v_n\)可以化简成\(V\)的基。但是\(V\)的每个基长度都是\(n\)，所以此处的归约不需要删除任何元素。所以\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基。
我总感觉上面两个证明充满了玄学的色彩，但它们所体现的其实是基的两个方面：线性无关性与张成性，只要二者结合在一起，就能焕发出无穷的力量。
和空间的维数公式 若\(U_1,U_2\)是有限维向量空间\(V\)的两个子空间，则
一个很有用的公式。
设\(u_1,\cdots,u_m\)是\(U_1\cap U_2\)的基，则\(\dim(U_1\cap U_2)=m\)。显然\(u_1,\cdots,u_m\)在\(U_1,U_2\)中都是线性无关的，所以可以扩充成\(U_1,U_2\)的基：
\[u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_j,\quad \dim U_1=m+j;\\ u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_k,\quad \dim U_2=m+k. \]故我们需要证明\(\dim(U_1+U_2)=m+j+k\)，其实就是证明\(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_j,w_1,\cdots,w_k\)是\(U_1+U_2\)的基，事实上它已经是\(U_1+U_2\)的张成组。为证明其线性无关性，令
\[\sum_{i=1}^m a_iu_i+\sum_{i=1}^j b_iv_i+\sum_{i=1}^k c_iw_i=0, \]则
\[-\sum_{i=1}^k c_iw_i=\sum_ {i=1}^m a_iu_i+\sum_{i=1}^j b_iv_i\in U_1\cap U_2,\\ -\sum_{i=1}^j b_iv_i=\sum_{i=1}^m a_iu_i+\sum_{i=1}^k c_iw_i\in U_1\cap U_2, \]所以
\[\sum_{i=1}^k c_iw_i=\sum_{i=1}^m d_iu_i,\\ \sum_{i=1}^j b_iv_i=\sum_{i=1}^m f_iu_i, \]移项得到
\[c_1=\cdots=c_k=0,\\ b_1=\cdots=b_j=0, \]所以
\[\sum_{i=1}^m a_iu_i=0\Rightarrow a_1=\cdots =a_m=0, \]这就证明了\(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_j,w_1,\cdots,w_k\)线性无关。
这一节内容很少，是因为基和维数的基础内容在之前全部讨论过了，所以可以很快地带过。
例题
第一题（2.B 6） 设\(v_1,v_2,v_3,v_4\)是\(V\)的基，证明\(v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4\)也是\(V\)的基。
证明某个向量组是基，只要从其线性无关性与张成性两个角度说明即可。
先证明这个向量组线性无关，设
\[d_1(v_1+v_2)+d_2(v_2+v_3)+d_3(v_3+v_4)+d_4v_4=0, \]则
\[d_1v_1+(d_1+d_2)v_2+(d_2+d_3)v_3+(d_3+d_4)v_4=0, \]由\(v_1,v_2,v_3,v_4\)的线性无关性，
\[\left\{\begin{array}l d_1=0, \\ d_1+d_2=0,\\ d_2+d_3=0,\\ d_3+d_4=0, \end{array}\right. \]得\(d_1=d_2=d_3=d_4=0\)，即线性无关性。
再证明这个向量组张成\(V\)，\(\forall v\in V\)，有
\[\begin{aligned} v&=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 \\ &=a_1(v_1+v_2)+(a_2-a_1)(v_2+v_3) \\&\quad +(a_3-a_2+a_1)(v_3+v_4)+(a_4-a_3+a_2-a_1)v_4. \end{aligned} \]这说明\(v\)可以被这个向量组线性表示，即这个向量组张成\(V\)。
第二题（2.C 7） 设\(U=\{p\in\mathcal{P}_4(\mathbb{F}):p(2)=p(5)=p(6)\}\)，
- 求\(U\)的一个基；
- 将其扩充成\(\mathcal P_4(\mathbb{F})\)的一个基；
- 求\(\mathcal P_4(\mathbb{F})\)的一个子空间\(W\)使得\(\mathcal P_4(\mathbb{F})=U\oplus W\)。
关键在于翻译\(U\)中限制的条件，可以把\(\mathcal{P}_4(\mathbb{F})\)看成一个五元组。
1、设满足条件的\(p\)为
\[p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4, \]则由\(p(2)=p(5)\)有
\[3a_1+21a_2+117a_3+609a_4=0, \]由\(p(5)=p(6)\)有
\[a_1+11a_2+91a_3+671a_4=0. \]求解过于繁琐，但总是可以把\(a_1,a_2\)表示为\(a_3,a_4\)的函数，即
\[a_1=f(a_3,a_4),\quad a_2=g(a_3,a_4). \]所以
\[p(z)=a_0+a_3z^3+a_4z^4+f(a_3,a_4)z+g(a_3,a_4)z^2. \]可以求得一组基为
\[p_1=1,\\ p_2=f(1,0)z+g(1,0)z^2+z^3,\\ p_3=f(0,1)z+g(0,1)z^2+z^4. \]求解过程较繁琐，这里省略。
2、要扩充为\(\mathcal P_4(\mathbb{F})\)的基，则增添
\[p_4=z,\quad p_5=z^2. \]3、这里\(W=\mathrm{span}(z,z^2)\)。
第三题（2.C 9）设\(v_1,\cdots,v_m\)在\(V\)中是线性无关的，并设\(w\in V\)，证明
事实上这个张成空间的维数不可能超过\(m\)。本题给出了一种证明维数下限的方法：构造一个向量空间内的，含有\(m-1\)个元素的线性无关组。
对任何\(j=2,\cdots,n\)，有
\[v_j-v_1=(v_j+w)-(v_1+w)\in\mathrm{span}(v_1+w,\cdots,v_m+w). \]下证明\(v_2-v_1,\cdots,v_m-v_1\)线性无关，设
\[a_2(v_2-v_1)+\cdots+a_m(v_m-v_1)=0, \]即
\[\sum_{j=2}^m a_jv_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m=0, \]显然有
\[a_2=\cdots=a_m=0. \]因此\(\mathrm{span}(v_1+w,\cdots,v_m+w)\)中包含这样一个\(m-1\)个元素的线性无关组，所以
\[\dim\mathrm{span}(v_1+w,\cdots,v_m+w)\ge m-1. \]这一点由张成组的维数不小于线性无关组可以直接得到。
第四题（2.C 17） 是否对子空间\(U_1,U_2,U_3\)，总有
成立？
这个结论实际上是不成立的，我们可以用二维的维数公式展开，有
两边对比，必须有以下结论成立：
在构造反例方面，只要让\(U_1\cap U_2\cap U_3=\{0\}\)，就会变得好办。
取\(U_1=(x,0),U_2=(0,y),U_3=(x,x)\)，则左边为
\[\dim(U_1+U_2+U_3)=2, \]右边为
\[1+1+1-0-1-1+0=1. \]矛盾。
