线性代数应该这样学2：子空间、有限维向量空间、线性无关
在本系列中，我的个人见解将使用斜体标注。每篇文章的最后，我将选择摘录一些例题。由于文章是我独自整理的，缺乏审阅，难免出现错误，如有发现欢迎在评论区中指正。
Part 1：子空间
子空间(subspace) 如果\(V\)的子集\(U\)（采用与\(V\)相同的加法和标量乘法）也是向量空间，则称\(U\)是\(V\)的子空间。
如果\(V\)的子集\(U\)是\(V\)的子空间，则等价于\(U\)满足以下三个条件：
- 加法单位元(additive identity)：\(0\in U\)。
- 加法封闭性(closed under addition)：如果\(u,w\in U\)，则\(u+w\in W\)。
- 标量乘法封闭性(closed under scalar multiplication)：如果\(a\in\mathbb{F}\)和\(u\in U\)，则\(au\in U\)。
我原来一直不能理解这个充要性的证明，感觉这一切都很显然。但事实上，只要证明\(U\)也是向量空间即可，再加上子空间与原空间使用同样的运算，所以只需要运算在\(U\)上有意义，就自然具备原空间上的运算性质；再验证加法逆元的存在性即可。
若\(U\)是\(V\)的子空间，则由向量空间的定义，\(U\)满足这三个条件，必要性得证。
如果\(U\)满足上述三个条件，则这三个条件分别保证了\(U\)有加法单位元，加法在\(U\)上有意义，标量乘法也在\(U\)上有意义，因而只需要证明加法逆元存在。
若\(u\in U\)，则\((-1)u=-u\in U\)，又\(u+(-1)u=0u=0\)，所以\(U\)的每一个元素在\(U\)中都有加法逆元。
有了这三个性质，判断一个空间是否是子空间就容易多了，尤其是\(0\in U\)的性质能快速确定很多参数的值。
子集的和(sum of subsets) 设\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(V\)的子集，则\(U_1,\cdots,U_m\)的和定义为
证明某个集合是另外两个子集的和，也就是证明两个集合相等，需要证明它们相互包含。
设\(U=\{(x,0,0)\in\mathbb{F}^3:x\in\mathbb{F}\}\)，\(W=\{(0,y,0)\in\mathbb{F}^3:y\in\mathbb{F} \}\)，验证\(U+W=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\}\)。
\(\forall x\in\mathbb{F}\)，能够唯一确定\(u=(x,0,0)\in U\)；\(\forall y\in\mathbb{F}\)，能够唯一确定\(w=(0,y,0)\in W\)。所以
\[x+y=(x,y,0)\in\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\},\\ U+W\subset \{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\}. \]另一方面，对任何\((x,y,0)\in\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\}\)，有
\[(x,y,0)=(x,0,0)+(0,y,0),\\ (x,0,0)\in U,\quad (0,y,0)\in W,\\ \{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\}\subset U+W. \]所以\(U+W=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\}\)。
关于子空间的和，有如下的结论：设\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(V\)的子空间，则\(U_1+\cdots+U_m\)是\(V\)的包含\(U_1,\cdots,U_m\)的最小子空间。这个结论包含三个层次，一是子空间的和仍然是子空间，二是\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(U_1+\cdots+U_m\)的子集，三是任何包含以上所有子空间的子空间\(W\)，都有\(U_1+\cdots+U_m\subset W\)。要证明这个结论，需要将这三个层次都证明一遍，但都是简单的。
直和(direct sum) 设\(U_1,\cdots,U_m\)，如果\(U_1+\cdots+U_m\)中的每一个元素都可以唯一地表示为\(u_1+u_2+\cdots+u_m\)，其中每一个\(u_j\in U_j\)，就称\(U_1+\cdots+U_m\)，此时也记作
直和设定了和空间的表示方式唯一，这表示每一个子空间的地位都是重要的，不能被其他子空间所取代、替换。具体在验证直和时，可以写出线性表示的方程组，如果解是唯一的则是直和，如果有不止一组解（则必是无穷组），就不是直和。
直和的条件 设\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(V\)的子空间，则\(U_1,\cdots,U_m\)是直和的充要条件是：\(0\)被表示成\(u_1+\cdots+u_m\)（\(u_j\in U_j\)）的唯一方式是\(u_j=0,\forall j\)。
必要性由直和的定义直接得出。
下证充分性。设\(v=v_1+\cdots+v_m\in U_1+\cdots+U_m\)，为证明这个表达是唯一的，假设还有一个表达为
\[v=u_1+\cdots+u_m,\\ v=v_1+\cdots+v_m, \]作差得到
\[0=(u_1-v_1)+\cdots+(u_m-v_m). \]由于\((u_j-v_j)\in U_j\)，所以\(u_j-v_j=0\)，即\(u_j=v_j\)，这就证明了表达的唯一性，即充分性。
两个子空间是直和的条件 设\(U,W\)都是\(V\)的子空间，则\(U+W\)是直和当且仅当\(U\cap W=\{0\}\)。
先证必要性。如果\(U+W\)是直和且\(v\in U\cap W\)，则
\[0\in v+(-v), \]由直和的条件，\(v=0,(-v)=0\)。
再证充分性。由于\(U\cap W=\{0\}\)，所以\(0=u+(-u)\)，如果\(u\in U\)，则\((-u)\in W\)，也即\(u\in W\)，进而\(u\in U\cap W\)，得到\(u=0\)，所以\(0\)的表示唯一，即\(U+W\)是直和。
Part 2：有限维向量空间
线性组合(linear combination) 如果\(a_1,\cdots,a_m\in\mathbb{F}\)，\(V\)中一组向量\(v_1,\cdots,v_m\)的线性组合是具有以下形式的向量：
线性组合是张成空间的基础，有了线性组合这个道具，就能很方便地表示两个子空间的和。在前面定义两个子空间的和时，实际上使用的也是两个子空间中向量的线性组合。
张成空间(span) \(V\)中一组向量\(v_1,\cdots,v_m\)的所有线性组合所构成的集合称为\(v_1,\cdots,v_m\)的张成空间，记作
特别地，将空向量组的张成空间定义为\(\{0\}\)，这是为了确保张成空间一定是向量空间。
张成空间提供了另一种找到子空间的思路，它是基于部分向量的，从而我们不需要直接考虑到子空间的所有向量是否满足两个封闭性。从定义可以看出，张成空间一定是一个子空间。
不仅如此，张成空间\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)\)还是包含这个向量组的最小子空间。与上面证明子空间的和是包含子空间的最小子空间类似，分三个层次证明：一是张成空间确实包含这个向量组，二是张成空间是一个子空间，三才是“最小”性，即包含这个向量组的子空间全都包含\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)\)。
有限维向量空间(finite-dimensional vector space) 如果一个向量空间可以被该空间中的某个向量组张成，则称这个向量空间是有限维的。
我们会常接触到的有限维向量空间：
- \(\mathbb{F}^n\)，是一个\(n\)维向量空间。
- \(\mathcal P_m(\mathbb{F})\)：系数在\(\mathbb{F}\)中且次数不超过\(m\)的所有多项式构成的集合，是一个\(m+1\)维向量空间。
无限维向量空间(infinite-dimensional vector space) 不是有限维向量空间的向量空间，就是无限维的。举例：
- \(\mathbb{F}^{\infty}\)或\(\mathbb{F}^{S}\)。
- \(\mathcal P(\mathbb{F})\)：系数在\(\mathbb{F}\)中，但不限定次数的多项式构成的集合。
Part 3：线性无关与线性相关
线性无关(linearly independent) 如果\(V\)中的一组向量\(v_1,\cdots,v_m\)满足以下条件，就称为线性无关。
特别规定空组\((\cdot )\)是线性无关的，这样对空组进行扩张时，得到的结论依然是普遍的。
线性相关(linearly dependent) 如果向量组\((v_1,\cdots,v_m)\)不是线性无关的，就称为线性相关，等价于\(0\)的表达方式不唯一，存在不全为零的\(a_1,\cdots,a_m\in\mathbb{F}\)，使得
关于线性无关，有一个重要的结论：如果\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)\)中的每一个向量\(v\)都只能用唯一的线性表示方式表达，则\((v_1,\cdots,v_m)\)线性无关，反之也成立。这个结论为后续坐标概念的引入提供了准备。
正向证明：\(V\)中每一个向量的表达方式都唯一，则\(0\)的表达方式也是唯一的，又因为
\[0=0v_1+\cdots+0v_m, \]所以只能有\(a_1=\cdots=a_m=0\)，即\((v_1,\cdots,v_m)\)线性无关。
反向证明：如果线性无关，则\(\forall v\in V\)，设
\[v=a_1v_1+\cdots+a_mv_m,\\ v=b_1v_1+\cdots+b_mv_m, \]两边作差得
\[0=(a_1-b_1)v_1+\cdots+(a_m-b_m)v_m, \]由线性相关性，\(a_j=b_j,\forall j\)，就说明了\(v\)的表达方式唯一。
线性相关性引理 设\((v_1,\cdots,v_m)\)是\(V\)中一个线性相关的向量组，则存在\(j\in\{1,2,\cdots,n\}\)，使得
- \(v_j\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)\)。
- 如果从\(v_1,\cdots,v_m\)中去掉\(v_j\)，则剩余组的张成空间等于\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)\)。
这个定理的证明很简单，在此不写，但是这个定理的意义很重要，给定一个线性相关组，总能通过一定的删除使之变成一个线性无关组。我们以后很多讨论，都将是基于线性无关组的，所以线性相关组的归约过程是必要的。
线性无关组的长度与张成组的长度 在有限维向量空间中，线性无关组的长度必定不超过向量空间的每一个张成组的长度（张成组即张成整个向量空间的向量组）。
这是一个显然的结论，但它也非常重要，可以通过归约过程证明，只要每次加入一个\(u_j\)并从\(w_1,\cdots,w_n\)中删掉一个。
这个结论的重要性在于说明了有限维向量空间的张成组长度必定有下界，从而我们可以讨论它的最小长度。在此之前，还需要说明张成组的最小长度是确定的（不可能存在两个不等长的线性无关组，张成同一个向量空间），这是结论的直接推论，因而我们可以直接讨论线性空间的张成组最小长度，这将会是后续的一个重要概念。
有限维向量空间的子空间 有限维向量空间的子空间都是有限维的。
设\(V\)是有限维向量空间，\(U\)是\(V\)的子空间，下证明\(U\)是有限维的。只考虑非平凡子空间，因为平凡子空间结论成立显然。
由于\(U\ne \{0\}\)，所以可以找到\(v_1\in U\)。接下来循环此流程：
- 令\(j=2\)；
- 如果\(U=\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)，则退出循环，证明结束；
- 取\(v_j\in U\)，且\(v_j\notin\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)。
这一流程的可停止性在于，每一步构造的向量组都是线性无关组，故长度不可能超过\(V\)的张成组，所以流程一定会停下。
本部分结论的证明，基本都基于线性无关向量组的扩充，还有线性相关向量组的归约。因此，线性相关性引理是非常重要的。
例题
第一题（1.C 5）：\(\mathbb{R}^2\)是复向量空间\(\mathbb{C}^2\)的子空间吗？
感觉子空间部分的例题如果做不出来，大多还是数学分析上的基础弱了一些，再者就是注意陷阱。
如果是\(\mathbb{C}^2(\mathbb{C})\)，则不是（因为关于标量乘法不封闭）；如果是\(\mathbb{C}^2(\mathbb{R})\)则是，但一般不这么指。
第二题（1.C 12、13改）：如果\(\mathbb{F}\)是一个含有无限元素的数域，则对任何整数\(n\)，\(V=U_1\cup\cdots \cup U_n\)当且仅当其中一个子空间包含其他的子空间。
这题的重点在于无限元素，至少\(\mathbb{F}\)中的元素个数要不小于\(n\)。
如果
\[V=\bigcup_{i=1}^n U_i, \]则在\(U_1\)中任意一个非零元素\(x\)，在\(V-U_1\)中找一个非零元素\(y\)，必有
\[\forall k,x+ky\notin U_1,x+ky\in V. \]故假设
\[x+ky\in U_j,\quad j\ne 1. \]由于\(\mathbb{F}\)中含有无限元素，所以必能找到两个\(k_1,k_2\ne 0\)，使得
\[x+k_1y \in U_j,\quad x+k_2y \in U_j, \]将两个元素作差，得到
\[(k_1-k_2)y\in U_j\Rightarrow y\in U_j, \]进而
\[x=x+k_1y-k_1y\in U_j, \]这说明
\[U_1\subset \bigcup_{i=2}^{n}U_i. \]即
\[V=\bigcup_{i=2}^n U_j. \]以此类推，只要\(V\ne U_j\)，\(\forall j=1,2,\cdots,n-1\)就能得到\(V=U_n\)，这依然表明\(U_n\)包含了其他所有子空间；如果\(\exists j=1,\cdots,n-1\)使得\(V=U_j\)，就说明\(U_j\)包含了其他所有的子空间，结论得证。
第三题（2.A 14）：证明：\(V\)是无限维的当且仅当\(V\)中存在一个向量序列\(v_1,v_2,\cdots\)使得当\(m\)是任意正整数时，\(v_1,\cdots,v_m\)都是线性无关的。
组长度引理会在本节的证明中发挥重要的作用，好多题目都能用上。另外，本题的结论可以直接用于验证向量空间是无限维的，如2.A的15和16题。
必要性：现在\(V\)不是有限维的，可以找到\(v_1\ne 0\)。对\(j=2,3,\cdots\)，由于\(V\)不是有限维的，所以\(V\ne \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)，故可以找到\(v_j\ne 0\)，\(v_j\in V\setminus\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)。
充分性：现在可以找到这样的一个序列\(v_1,\cdots,v_2\)，假设\(V\)是有限维的，则存在一个张成组
\[\{u_1,\cdots,u_n \}, \]设其程度为\(n\)，取\(m=n+1\)，则\(\{v_1,\cdots,v_m\}\)是\(V\)中的一个线性无关组。此时线性无关组长度大于张成组，与组长度引理矛盾。所以\(V\)不可能是有限维的。
进而，对第15题，这个向量组的构造为\(e_1,e_2,\cdots\)，其中\(e_m\)代表第\(m\)个元素为1，其他元素为0的向量。对第16题，这个向量组的构造为\(f_1,f_2,\cdots\)，其中\(f_m(x)=x^{m-1}\)。
