金融数学复习纲要

金融数学复习提纲

本文适用于备考浙江大学金融数学（3学分，课程号06123020），参考书目为《数理金融理论与模型》、《金融数学引论：从风险管理到期权定价》。

大纲如下（目录见侧边栏）：

1. 金融市场
   • 基础金融资产
   • 金融衍生品
2. 效用理论
   • 偏好和效用
   • 风险类型与风险度量
   • HARA效用函数
3. 投资组合理论
   • 马科维茨投资组合理论
   • 无风险资产
   • 风险度量函数
4. CAPM与APT
   • CAPM
   • 因子模型
   • APT
5. 期权定价理论
   • 期权
   • 期权定价中的无套利关系
   • 风险中性模型与二叉树定价
   • Black-Scholes定价公式

方便起见，笔记中不含图，由于是复习笔记，所以内容较为简略。

Chapter 1：金融市场

基础金融资产：股票、债券、商业票据。

衍生金融资产：远期、期货、期权、互换。

基础金融资产

股票：不可偿还性。

股票价值：票面价值（股票上标注的价值），账面价值（公司净资产/发行在外的普通股票股数），清算价值（公司清算时每一股的价值），内在价值（股票未来收益的现值）。

决定股票市场价值的根本因素：内在价值。

股票收益来源于股息收益和买卖价差收益。

债券：事先确定利息，具有到期日。

债券收益取决于投资者的投资策略——持有至到期日还是提前卖出。如果提前卖出，则收益还包括价差。

买入和卖出债券的最低单位为一手，为10张。

投资债券的风险来源于市场风险、流动性风险、通货膨胀风险、信用风险。如果持有至到期日则不存在市场风险。

金融衍生品

远期合约：买卖双方承诺在将来某一天以特定价格买进或卖出一定数量的标的物。

在合约中，未来将买入标的物的一方称为多头(Long Position)，未来将卖出标的物的一方称为空头(Short Position)。

远期合约可以用于规避市场价格波动的风险，规避现货市场交易风险。

远期合约中规定的执行价格\(K\)称为合约的执行价格。由于标的物的到期价格\(S_T\)是一个随机变量，所以远期合约的收益是一个随机变量：

\[空头收益：K-S_T. \\ 多头收益：S_T-K. \]

期货：协议双方同意在约定的将来某日期按约定的条件买入或卖出一定标准数量的某种标的物的标准化协议。

期货具有保证金制度。

最重要的期货是股指期货，标的物是股票价格指数。到期日不需要进行标的物交割，只需要进行现金结算。

相关术语：期货交易的全过程可以概括为建仓、持仓、平仓（实物交割）。

建仓指的是交易者新买入或者新卖出一定数量的期货合约，相当于签署了一份远期交割合约。

平仓指的是期货投资者买入或者卖出与其所持股指期货合约的品种、数量及交割月份相同，但交易方向相反的股指期货合约，以了结股指期货交易的行为。

期权：赋予其购买者在规定期限内按约定的价格购买或者出售一定数量某种标的资产的权利的合约。

期权的买入方称为期权多头，卖出方称为期权空头。

期权可以分为看涨期权(Call)和看跌期权(Put)两种。看涨期权赋予期权多头买入标的资产的权利，又叫买权；看跌期权赋予期权多头卖出标的资产的权利，又叫卖权。

期权可以分为欧式期权(European Option)和美式期权(American Option)等。欧式期权只能在到期日行权，美式期权可以在到期日前的任一时刻执行。此外，百慕大式期权(Bermudan Option)将行权时间限制在到期日前的几个时间点。

期权价值可以分解为内在价值和时间价值。内在价值指的是期权多头处于价内(In the Money, ITM)时当即执行期权可以获得的价值。

处于价内(In the Money)指的是行权能带来收益。

平价(At the Money)指的是执行价格与市场价格相等。

处于价外(Out of the Money)指的是行权会更多亏损。

Chapter 2：效用理论

确定性条件下的偏好与效用

效用来源于偏好，仅是描述偏好的方法之一。是纯主观的心理感受。

偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的，偏好关系是指消费者对不同商品或商品组合偏好的顺序，可以用一种二元关系表述出来。

商品束集合\(B\subset \mathbb{R}^n\)，代表有\(n\)种可以选择的商品，其元素记作\(x,y,z\)等，是\(n\)维向量。偏好关系是\(B\)上的二元关系，满足：

1. 自反性，即\(x\succeq x,\forall x\in B\)；
2. 可比较性，\(\forall x,y\in B\)，至少在\(x\succeq y,y\succeq x\)之中存在一个。
3. 传递性，如果\(x\succeq y \& y\succeq z\)，则\(x\succeq z\)。

基于此定义$\sim \(与\)\succ$：

1. 如果\(x\succeq y\& y\succeq x\)，则\(x\sim y\)；
2. 如果\(x\succeq y\)但没有\(y\succeq x\)，则\(x\succ y\)。

序数效用函数：\(\forall x,y\in B\)，效用函数\(u:B\to \mathbb{R}\)使得以下两点成立：

\[x\succ y\Leftrightarrow u(x)>u(y), \\ x\sim y\Leftrightarrow u(x)=u(y). \]

并不一定每一个偏好关系都有效用函数，除非偏好关系追加具有以下三条性质：

1. 序保持性：如果\(x\succ y\)，则

   \[[\alpha x+(1-\alpha)y]\succ [\beta x+(1-\beta)y]\Leftrightarrow \alpha>\beta. \]

2. 中值性：对任何\(x\succ y\succ z\)，存在唯一的\(\alpha\)使得

   \[\alpha x+(1-\alpha)z\sim y. \]

3. 有界性：存在\(x^*, y^* \in B\)，使得\(\forall z\in B\)，都有

   \[x^*\succeq z\succeq y^*. \]

基于以上三条性质，效用函数是一个连续的实函数\(U(x)\)，可以说是唯一且有界的（除非作严格正仿射变换）：

\[U(x)=\alpha\Leftrightarrow x\sim \alpha x^*+(1-\alpha)y^*. \]

严格正仿射变换指的是通过正单调变换而获得另一个效用函数。如对于严格正单调增函数\(f\)，严格正仿射变换定义为

\[\tilde U(x)\equiv f[U(x)], \]

如此则有

\[\tilde U(x)\ge \tilde U(y)\Leftrightarrow U(x)\ge U(y), \]

代表了同一个偏好关系，因此可以视为同一个效用函数。

序数效用函数的数值没有意义，数值有意义的效用函数称为基数效用函数。

不确定性下的偏好关系和效用

数学期望最大化原则：使用各个不确定情形下，各种可能结果的预期值比较各种行动方案的优劣性。是收益最大原则在不确定情况下的推论。数学期望最大化原则存在着显然的悖论。

圣彼得堡悖论：指出人们在投资时不是用“钱的数学期望”作为决策准则的，而是用“道德期望”来行动。

抛硬币，正面即停止，反面则继续直到出现正面，如果反面次数为\(k\)，则收益是\(2^{k}\)。期望无穷，但人们只愿意支付\(2\sim 3\)的参与成本。

由Daniel Bernoulli提出，基于此提出了期望效用原则。

期望效用函数：定义在随机变量集上的函数\(U:L^2\to \mathbb{R}\)，它在一个随机变量\(X\)上的取值等于某一个数值函数\(p\)在该随机变量上取值的数学期望，即\(U(X)=\mathbb{E}[p(X)]\)。称\(U\)为VNM效用函数，有时也直接记\(U\equiv p\)。

随机计划集\(\tilde B\)中的每一个元素是一种随机事件\(L_i\)，随机事件也可以定义与普通商品类似的偏好关系\(\succeq\)，满足自反性、可比较性、传递性。同时，也有几条公理（实际不一定成立，但为了数学处理方便而定义）：

1. 独立性公理（替代公理）：如果\(L_1\succ L_2\)，则对于\(\alpha\in(0,1)\)和任意其他随机事件\(L\in \tilde B\)，有

   \[\alpha L_1+ (1-\alpha)L\succ \alpha L_2+(1-\alpha)L. \]

   这使得实际决策行为之间的比较，可以在结构上被分为相同的部分与不同的部分，从而只比较不同的部分。

2. 阿基米德公理：\(\forall L_1\succ L_2\succ L_3\in \tilde B\)，\(\exists\alpha,\beta\in(0,1)\)，使得

   \[\alpha L_1+(1-\alpha)L_3\succ L_2\succ \beta L_1+(1-\beta)L_3. \]

   这意味着\(L_1\)不可能无限好，\(L_3\)不可能无限差。

如果\(\tilde B\)上的偏好关系满足以上的性质，则该偏好关系可以被VNM期望效用函数表示，且表示方式是唯一的。此时偏好关系与期望效用函数的对应关系为

\[U(L_1)\ge U(L_2)\Leftrightarrow L_1\succeq L_2. \]

期望效用理论也存在着悖论。

Allias悖论：构造以下四个随机变量：

A：\(\mathbb{P}(X=100)=1\)。

B：\(\mathbb{P}(X=500)=0.1\)、\(\mathbb{P}(X=100)=0.89\)、\(\mathbb{P}(X=0)=0.01\)。

C：\(\mathbb{P}(Y=100)=0.11\)、\(\mathbb{P}(Y=0)=0.89\)。

D：\(\mathbb{P}(Y=500)=0.1\)、\(\mathbb{P}(Y=0)=0.9\)。

大多数人会选择\(A+D\)的组合，但这与期望效用理论相违背。因为

\[U(100)>0.1U(500)+0.89U(100)+0.01U(0)\quad \text{因为}A\succ B;\\ 0.1U(500)+0.9U(0)>0.11U(100)+0.89U(0)\quad \text{因为}D\succ C. \]

显然不论\(U(0),U(100),U(500)\)取什么值，这两个不等式不会同时成立。

投资者的风险类型与风险度量

投资者的风险类型可以分为风险厌恶型、风险爱好型及风险中性型。用公平赌博来定义风险偏好，这里公平赌博指的是赌博有两种结果\(h_1\)和\(h_2\)（代表金钱变化），并且\(\mathbb{P}(h_1)=p,\mathbb{P}(h_2)=1-p\)满足

\[ph_1+(1-p)h_2=0. \]

如果投资者的初始财富为\(W_0\)，VNM期望效用函数为\(V(x)\)，则投资者参加这项随机计划的期望效用为

\[pV(W_0+h_1)+(1-p)V(W_0+h_2). \]

基于此定义风险类型：

风险厌恶型：认为不参加赌博更好，也就是

\[V(W_0)>pV(W_0+h_1)+(1-p)V(W_0+h_2). \]

风险爱好型：认为参加赌博更好，也就是

\[V(W_0)<pV(W_0+h_1)+(1-p)V(W_0+h_2). \]

风险中性型：对参不参加赌博没有倾向性，也就是

\[V(W_0)=pV(W_0+h_1)+(1-p)V(W_0+h_2). \]

如果在认为\(V(x)\)可微且单调递增：\(V'(x)>0\)的情况下，则又有以下经典结论：

\[V''(x)<0\Leftrightarrow 风险厌恶;\\ V''(x)=0\Leftrightarrow 风险中性;\\ V''(x)>0\Leftrightarrow 风险爱好. \]

马科维茨风险溢价：对于风险厌恶者，要它接受赌博必须给他一定程度的补贴，即“如果不参加赌博就直接扣除一部分现金”，使得投资者对于赌博的态度变为中性，也就是

\[V(W_0-\Theta(W_0))=pV(W_0+h_1)+(1-p)V(W_0+h_2). \]

这里\(\Theta(W_0)\)即称为马科维茨风险溢价，称\(W_0-\Theta(W_0)\)为确定性等价财富。

例：若投资者的效用函数为\(U(x)=\ln x\)（显然\(U''(x)<0\)风险厌恶），初始财富\(W_0=10\)。若一项赌博为\(\mathbb{P}(X=20)=1-\mathbb{P}(X=5)=0.2\)，求其马科维茨风险溢价。

解：设风险溢价为\(h(W_0)=h\)，则

\[\ln(10-h)=0.2\ln30+0.8\ln 5, \]

解得\(h(W_0)=2.845\)。

Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数：如果效用函数中的数值函数为\(V(x)\)，则绝对风险厌恶系数是

\[A(x)=-\frac{V''(x)}{V'(x)}. \]

风险容忍系数：\(T(x)=[A(x)]^{-1}\)。

相对风险厌恶系数：效用函数的变化率对财富\(x\)变化率的负弹性，即

\[R(x)\equiv xA(x)=-\frac{{\rm d}V'/V'}{{\rm d}x/x}. \]

绝对风险厌恶系数不考虑研究对象当前的财富程度，而相对风险厌恶系数加入了当前财富程度的影响。

如果\(A(x)>0\)，则认为投资者是风险厌恶的；\(A(x)\)越大，对风险的厌恶程度越高。

双曲绝对风险厌恶效用函数(HARA)

有一类效用函数，其效用函数在大多参数下是反比例函数，称为双曲绝对风险厌恶效用函数。

\[V(x)=\frac{1-r}{r}\left(\frac{ax}{1-r}+b \right)^r,\\ A(x)=\left(\frac{x}{1-r}+\frac{b}{a} \right)^{-1}. \]

根据不同的参数，\(V(x)\)有不同的形式。

线性形式：\(r\to 1\)时，\(V(x)=ax\)为线性函数，风险中性者的效用函数。

二次函数：\(r=2\)时，\(V(x)=-\frac12(ax-b)^2\)为二次效用函数，表明效用具有最大值。

指数效用函数：\(b=1,r\to \infty\)时，\(V(x)=-e^{-ax}\)为指数效用函数，有常数绝对风险厌恶系数即

\[A(x)=a,\quad R(x)=ax. \]

幂效用函数：\(r<1,b=0\)时，\(V(x)=x^r/r\)为幂效用函数，有常数相对风险厌恶系数即

\[A(x)=\frac{1-r}{x},\quad R(x)=1-r. \]

对数效用函数：当\(a=1,b=0,r\to 0\)时，\(V(x)=\ln x\)，具有恒为1的相对风险厌恶系数即

\[A(x)=\frac{1}{x},\quad R(x)\equiv1. \]

Chapter 3：投资组合理论

资产的收益和风险

本节中单项资产的收益用预期收益率\(\mathbb{E}(R)\)来表示，风险用收益率的方差\(\mathbb{D}(R)\)或标准差\(\sigma(R)\)来表示。

资产组合：

\[R_p=\sum_{i=1}^n w_iR_i. \]

资产组合的收益率为

\[r_p=\mathbb{E}(R_p)=\sum_{i=1}^nw_i\mathbb{E}(R_i). \]

资产组合的方差为

\[\sigma^2_p=\mathbb{D}(R_i)=\sum_{i=1}^nw_i^2\mathbb{D}(R_i^2)+\sum_{i\ne j}w_iw_j{\rm Cov}(R_i,R_j). \]

即随机变量和的期望与方差。

两种资产构成的资产组合：两种资产\(R_A\)，\(R_B\)以权重\(w_A+w_B=1\)构成资产组合：

\[R_p=w_AR_A+w_BR_B,\\ \rho_{AB}=\frac{{\rm Cov}(R_A,R_B)}{\sqrt{\mathbb{D}(R_A)\mathbb{D}(R_B)}}. \]

马科维茨投资组合理论

基本假设：单期投资、正态分布、二次效用、期望收益率和方差、占优法则。

注意马科维茨投资组合理论的基本假设很多时候并不符合实际。

二次效用函数具有递增的绝对风险厌恶系数，这与将风险视为正常商品的投资者不符；二次函数具有满足性，这与偏好更多财富的投资者不符。

均值-方差模型并非资产选择的一般性模型，但它具有数理分析的额简易性以及丰富的实证检验，所以在金融理论中扮演重要角色。

机会集(Opportunity Set)：每一可能的预期收益率水平下的最小方差点。

最小方差点(Minimum Variance Point, MVP)：机会集上具有最小方差的点。

最小方差点对应的收益率记作\(r_{mvp}\)。

对于二元情形\(A\)与\(B\)，假设\(\mu_A<\mu_B\)，则存在一组权重\(w_A,w_B\)构成投资组合\(R_p=w_AA+w_BB\)，令\(x=w_A\)，则其方差为

\[\begin{aligned} \mathbb{D}(R_p)=&x^2\sigma^2_a+(1-x)^2\sigma^2_b+2x(1-x)\sigma_{ab}\\ =&(\sigma_a^2+\sigma_b^2-2\sigma_{ab})x^2+(2\sigma_{ab}-2\sigma_b^2)x+\sigma_b^2, \end{aligned} \]

由二次函数的性质知道

\[x=\arg\min_x\mathbb{D}(R_p)=\frac{\sigma_b^2-\sigma_{ab}}{\sigma_a^2+\sigma_b^2-2\sigma_{ab}}. \]

由对称性，可知MVP点为

\[w_A=\frac{\sigma_b^2-\sigma_{ab}}{\sigma_a^2+\sigma_b^2-2\sigma_{ab}},\\ w_B=\frac{\sigma_a^2-\sigma_{ab}}{\sigma_{a}^2+\sigma_b^2-2\rho_{ab}}. \]

有效集(Efficient Set)：机会集中，预期收益率高于\(r_{mvp}\)的部分。

对于两种以上的风险资产，也存在有效集，即称为马科维茨有效边界。定义可行集上的投资组合为前沿投资组合，有效集上的投资组合为有效投资组合。

用拉格朗日乘子法求解马科维茨有效边界，此方法适用于\(n\)项线性无关的有风险资产。

现假定有\(n\)种风险资产，分配给它们的权重为\(\boldsymbol w=(w_1,\cdots,w_n)'\)，资产的收益率为\(\boldsymbol{r}\)，协方差矩阵为\(\Sigma\)，即要求解以下的数学规划问题：

\[\min \boldsymbol w'\Sigma\boldsymbol w,\\ \text{s.t. }\boldsymbol w'\boldsymbol r=r_p,\quad \boldsymbol w'\boldsymbol 1=1. \]

拉格朗日函数为

\[L(\lambda_1,\lambda_2,\boldsymbol{w})=\frac{1}{2}\boldsymbol{w}'\Sigma\boldsymbol{w}-\lambda_1(\boldsymbol{w}'\boldsymbol{r}-r_p)-\lambda_2(\boldsymbol{w}'\boldsymbol{1}-1). \]

求偏导得到

\[\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{w}}=\Sigma\boldsymbol w-\lambda_1\boldsymbol{r}-\lambda_2\boldsymbol 1=\boldsymbol 0; \]

也就是

\[\boldsymbol{w}=\Sigma^{-1}(\lambda_1\boldsymbol r+\lambda_2\boldsymbol 1). \]

代入得到

\[\lambda_1\boldsymbol r'\Sigma^{-1}\boldsymbol r+\lambda_2\boldsymbol r'\Sigma^{-1}\boldsymbol{1}=r_p,\\ \lambda_1\boldsymbol{1}'\Sigma^{-1}\boldsymbol{r}+\lambda_2\boldsymbol{1}'\Sigma^{-1}\boldsymbol {1}=1. \]

定义

\[A=\boldsymbol r'\Sigma^{-1}\boldsymbol{r},\\ B=\boldsymbol r'\Sigma^{-1}\boldsymbol1=\boldsymbol 1'\Sigma^{-1}\boldsymbol{r},\\ C=\boldsymbol 1'\Sigma^{-1}\boldsymbol1,\\ D= AC-B^2; \]

则方程组为

\[\begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r_p \\ 1 \end{bmatrix}, \\ \lambda_1=\frac{r_pC-B}{D},\quad \lambda_2=\frac{A-r_pB}{D},\\ \]

所以

\[\boldsymbol w=\frac{(r_pC-B)\Sigma^{-1}\boldsymbol{r}+(A-r_pB)\Sigma^{-1}\boldsymbol{1}}{D}\\ \]

证券组合前沿的结构：

1. 在\(\sigma-\mu\)平面上是一条双曲线，其顶点即为MVP，顶点是

   \[\left(\sqrt{\frac{1}{C}},\frac{B}{C} \right). \]

2. MVP点的权重向量\(\boldsymbol w_{mvp}\)为

   \[\boldsymbol w_{mvp}=\frac{\Sigma^{-1}\boldsymbol{1}}{C}. \]

3. 两基金分离定理(two-fund separation theorem)：如果投资组合\(A\)和\(B\)都位于有效集(Efficient Set)上，则对于任何正权重\(w_a+w_b=1\)，\(w_aA+w_bB\)都位于有效集上。这表明投资者不需要关注\(n\)种风险资产，而只需要线性投资在两种投资组合上。

运用两基金分离定理求解马科维茨有效边界：只需要先获得任意两个解，再对解进行线性组合。

由于

\[\boldsymbol w=\lambda_1\Sigma^{-1}\boldsymbol{r}+\lambda_2\Sigma^{-1}\boldsymbol{1},\\ \]

分别取

\[\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\&\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]

进行求解并标准化，得到

\[\boldsymbol w_1=\frac{\Sigma^{-1}\boldsymbol r}{\boldsymbol 1'\Sigma^{-1}\boldsymbol r},\quad \boldsymbol w_2=\Sigma^{-1}\boldsymbol 1. \]

然后使用权重\(x\in(0,1)\)得到

\[\boldsymbol w=x\boldsymbol w_1+(1-x)\boldsymbol w_2. \]

注意，如果用\(x\in \mathbb{R}\)进行如上的搜寻，则可以得到整条马科维茨曲线，但这是可行解而不是有效解。

有其他与协方差相关的结论：

1. MVP点处的投资组合与任何投资组合，收益率的协方差总等于MVP处收益率的方差，即

   \[{\rm Cov}(R_{mvp}, R_p)=\mathbb{D}(R_{mvp}). \]

2. 任何可行集上的投资组合\(p\)，如果\(p\ne mvp\)，都存在唯一的前沿投资组合\(zc(p)\)，使得

   \[{\rm Cov}(R_{p},R_{zc(p)})=0. \]

   称为投资组合\(p\)的零协方差投资组合。\(p\)与\(zc(p)\)必然一个是有效投资组合，一个是非有效投资组合。

3. 任何一个投资组合\(q\)的收益率期望，都可以表示成任一非MVP前沿证券组合\(p\)与其零协方差组合收益率期望的加权和，即

   \[\forall q,p\in\tilde B,\exists \beta_{qp},\quad \mathbb{E}(R_q)=\beta_{qp}\mathbb{E}(R_p)+(1-\beta_{qp})\mathbb{E}(R_{zc(p)}). \]

多元化效应：投资组合能分散和化解部分风险，但不能化解全部风险。

非系统风险(unsystematic risk)：只影响某一证券或某一组证券，是个别公司或资产所特有的，可以被多元化效应所抵消，又叫可分散风险(diversifiable risk)。

系统风险(systematic risk)：不能被多元化效应所抵消的风险，也称为市场风险(market risk)或不可分散风险(nondiversifiable risk)。

某一投资组合的风险为非系统风险与系统风险的加和。

风险资产与无风险资产的组合

由风险资产组合与一种无风险资产构成的组合的收益和风险的关系是一条\(\mu-\sigma\)平面上的直线（也可以延伸至折线）。

资本市场线(Capital Market Line, CML)：所有资产（包括有风险的与无风险的）构成的有效集，是一条直线，恰是过无风险资产点与马科维茨有效前沿相切的直线。其实质是通过无风险资产的借入与贷出，扩展有效集。

分离定理(Separation Principle)：投资者的投资决策是两个独立的步骤，即

1. 估计各种证券的收益率\(R_i\)的期望、方差、协方差，计算风险资产的有效集，并确定无风险利率与风险资产有效集的切点\(M\)——最优风险资产组合。
2. 决定如何构建切点投资组合\(R_M\)与无风险资产\(R_f\)的组合。

第一步对于所有投资者都是一致的，而第二步则涉及主观色彩。一个具有普通风险厌恶程度的投资者可能选择\(R_f\)与\(R_M\)之间的某一点，而低风险厌恶的投资者则可能靠近\(M\)甚至超过\(M\)的点（代表借无风险资产投资风险资产）。

基金公司可以将资产组合选择问题分为两个部分：资本配置决策和资本选择决策。前者决定无风险资产与有风险资产的投资比例，后者计算有风险资产的投资方式。

共同期望假设：市场上所有的投资者对预期收益率、方差和协方差的估计完全相同，或是所有投资者的信息来源一致。

市场组合：若所有投资者都具有相同的期望，就只需要认为市场上只有一种投资组合即\(M\)，这就是市场组合。

CML方程：

\[r=r_f+\frac{r_M-r_f}{\sigma_M}\cdot\sigma. \]

存在无风险资产的马科维茨曲线：

依然假定有\(n\)种线性无关的风险资产，其收益率向量为\(\boldsymbol R=(R_1,\cdots,R_n)\)，\(\mathbb{E}(\boldsymbol R)=\boldsymbol r\)，\(\mathbb{D}(\boldsymbol{R})=\Gamma\)，设无风险利率为\(r_f\)，则所求解规划为

\[\min \boldsymbol w'\Gamma\boldsymbol w,\\ \text{s.t. }\boldsymbol w'\boldsymbol r+(1-\boldsymbol w'\boldsymbol 1)r_f=r_p. \]

其拉格朗日函数为

\[L(\boldsymbol w,\lambda)=\frac{1}{2}\boldsymbol{w}'\Gamma\boldsymbol{w}-\lambda[\boldsymbol w'(\boldsymbol {r}-r_f\boldsymbol 1)+r_f-r_p],\\ \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol w}=\Gamma \boldsymbol w-\lambda(\boldsymbol r-r_f\boldsymbol {1})=0,\\ \boldsymbol w=\lambda\Gamma^{-1}(\boldsymbol r-r_f\boldsymbol 1). \]

代入约束条件，有

\[\lambda(\boldsymbol r-r_f\boldsymbol 1)'\Gamma^{-1}(\boldsymbol r-r_f\boldsymbol 1)=r_p-r_f, \]

作如下定义：

\[H\stackrel{def}=(\boldsymbol r-r_f\boldsymbol 1)'\Gamma^{-1}(\boldsymbol r-r_f\boldsymbol 1). \]

由\(\Gamma^{-1}\)的正定性，\(H>0\)，所以有

\[\lambda=\frac{r_p-r_f}{H},\\ \\ \boldsymbol w=\frac{r_p-r_f}{H}\Gamma^{-1}(\boldsymbol r-r_f\boldsymbol 1). \]

由于\(\mathbb{E}(R_\boldsymbol w)=r_p\)，\(\sigma(R_\boldsymbol w)=\sqrt{\boldsymbol w'\Gamma\boldsymbol w}\)，所以

\[\sigma(R_w)=\frac{|r_p-r_f|}{H}\sqrt{(\boldsymbol r-r_f\boldsymbol 1)'\Gamma^{-1}(\boldsymbol r-r_f\boldsymbol 1)}=\frac{|r_p-r_f|}{\sqrt{H}}=\frac{|\mathbb{E}(R_\boldsymbol w)-r_f|}{\sqrt{H}}. \]

这就说明存在无风险资产的情形下，可行集是一条折线，有效集则是折线的上半部分。

对于任何前沿资产组合\(p\)与任意资产组合\(q\)，有

\[r_q-r_f=\frac{{\rm Cov}(R_p,R_q)}{\mathbb{D}(R_p)}(r_p-r_f)=\beta_{qp}(r_p-r_f). \]

如果取\(p\)为市场组合\(M\)，则有

\[r_q-r_M=\frac{{\rm Cov}(R_q,R_M)}{\mathbb{D}(R_M)}(r_M-r_f)=\beta_{qM}(r_M-r_f). \]

风险度量

VaR(Value at Risk)：潜在亏损，定义为在一特定持有期\(T\)内，在给定的置信水平\(\alpha\)下，资产（或资产组合）可能遭受的最大损失值，即

\[\mathbb{P}(\Delta p\ge VaR)=1-\alpha. \]

这里\(\Delta p\)指的是在给定时间\(\Delta t\)下的损失。

设投资组合\(A\)的收益率为\(R_A\)，其分布函数为\(F_a(x)\)，则\(R_A\)的（下）\(\alpha\)分位数定义为

\[Q_{\alpha}=\inf\{x|F(x)\ge \alpha\}. \]

特别当\(F\)严格单调增时，有反函数\(F^{-1}\)，此时

\[Q_\alpha=F^{-1}(\alpha). \]

损失函数：假设市场上有\(n\)个风险资产，其收益率向量为\(\boldsymbol{R}=(R_1,\cdots,R_n)'\)，分配的权重向量为\(\boldsymbol{w}=(w_1,\cdots,w_n)'\)满足\(\boldsymbol w'\boldsymbol 1=1\)，定义此时的损失函数为\(L(\boldsymbol w,\boldsymbol R)\)。若收益率向量\(\boldsymbol R\)的联合密度为\(p(\boldsymbol r)\)，损失函数的分布函数是\(\Psi(\lambda)=\mathbb{P}(L(\boldsymbol w,\boldsymbol R)\le \lambda)\)，则VaR定义为

\[\text{VaR}_\alpha=\inf\{\lambda\in \mathbb{R}|\Psi(\lambda)\ge \alpha\}. \]

即VaR值是损失函数的下\(\alpha\)分位数。VaR值受置信水平的影响较大。

VaR的计算：如果损失函数是简单的正态分布、\(t\)分布等，可以通过解析法求解VaR。

例：只有一个无风险资产，其收益率\(R\sim N(\mu,\sigma^2)\)，设损失函数为\(L=-R\)，则

\[\mathbb{P}(L\le \text{VaR}_\alpha)=\mathbb{P}\left(\frac{-R+\mu}{\sigma}\le\frac{VaR_\alpha+\mu}{\sigma} \right)=\alpha, \]

所以

\[\frac{\text{VaR}_\alpha+\mu}{\sigma}=Z_\alpha, \]

这里\(Z_\alpha\)是\(N(0,1)\)的下\(\alpha\)分位数，所以

\[\text{VaR}_\alpha=\sigma Z_\alpha-\mu. \]

例：有\(n\)个有风险资产，其收益率\(\boldsymbol R\sim N_n(\boldsymbol r,\Sigma)\)，设损失函数为\(L(\boldsymbol w,\boldsymbol R)=-\boldsymbol w'\boldsymbol R\)，则

\[\begin{aligned} \mathbb{P}(L\le \text{VaR}_\alpha)=& \mathbb{P}(-\boldsymbol w'\boldsymbol R\le \text{VaR}_\alpha)\\ =&\mathbb{P}\left(\frac{-\boldsymbol w'\boldsymbol R+\boldsymbol w'\boldsymbol r}{\sqrt{\boldsymbol w'\Sigma\boldsymbol w}}\le \frac{VaR_\alpha+\boldsymbol w'\boldsymbol r}{\sqrt{\boldsymbol w'\Sigma\boldsymbol w}} \right)\\ =&\alpha,\\ \end{aligned} \]

所以

\[\text{VaR}_\alpha=\sqrt{\boldsymbol w'\Sigma\boldsymbol w}Z_\alpha-\boldsymbol w'\boldsymbol r. \]

一致性风险度量：指的是对于任何随机的损失\(X\)，其风险大小记作\(\rho(X)\)，应当具有以下的性质：

1. 平移不变性：\(\forall c\in \mathbb{R}\)，\(\rho(X+c)=\rho(X)+c\)。这表明确切的损失变动将导致确切且等量的风险变动。
2. 次可加性：两个风险\(X,Y\)，满足\(\rho(X+Y)\le \rho(X)+\rho(Y)\)。这表明对损失的组合能降低风险。
3. 正齐次性：\(\forall \lambda>0\)，\(\rho(\lambda X)=\lambda \rho(X)\)。这表明成倍的损失将导致成倍的风险。
4. 单调性：\(\forall X\le Y\)，满足\(\rho(X)\le \rho(Y)\)。这表明损失越大风险也越大。

从以上四条性质出发，可以推出第五条性质：凸性，即

\[\forall X\le Y,\lambda\in[0,1]\Rightarrow \rho(\lambda X+(1-\lambda)Y)\le \lambda\rho(X)+(1-\lambda)\rho(Y). \]

如果将标准差作为风险度量函数，它具有正齐次性与次可加性，不具有平移不变性与单调性。

VaR作为风险度量函数，满足单调性、正齐次性与平移不变性，不满足次可加性。

单调性：若\(X\le Y\)，则\(\{Y\le x\}\subset\{X\le x\}\)，所以\(\Psi_Y(x)\le \Psi_X(x)\),

\[\text{VaR}_\alpha(X)=\inf\{x|\Psi_X(x)\ge \alpha\}\le \inf\{x|\Psi_Y(x)\ge \alpha\}=\text{VaR}_\alpha(Y). \]

正齐次性：对\(\lambda>0\)，\(\{\lambda X\le x\}\Leftrightarrow\{X\le \frac{x}{\lambda}\}\)，所以\(\Psi_{\lambda X}(x)=\Psi_X(\frac{x}{\lambda})\)，

\[\text{VaR}_\alpha(\lambda X)=\inf\{x|\Psi_X(\frac{x}{\lambda})\ge\alpha\}=\lambda\inf\{\frac{x}{\lambda}|\Psi_X(\frac{x}{\lambda})\ge\alpha\}=\lambda \text{VaR}_\alpha(X). \]

平移不变性：令\(Y=X+c\)，有\(\{Y\le x\}\Leftrightarrow \{X\le x-c\}\)，所以\(\Psi_Y(x)=\Psi_X(x-c)\)，

\[\text{VaR}_\alpha(Y)=\inf\{x|\Psi_X(x-c)\ge\alpha\}=c+\inf\{x-c|\Psi_X(x-c)\ge\alpha\}=c+\text{VaR}_\alpha(X). \]

VaR作为风险度量的缺陷：

1. 不具有次可加性，所以分散化降低风险在VaR风险度量下是不成立的，进而不满足凸性。
2. 没有考虑尾部风险，可能发生极小概率的巨额损失。

C-VaR(Conditional Value-at-Risk)：条件在险价值，指给定置信水平\(\alpha\)的情况下，损失超过VaR时的平均损失，即

\[\text{C-VaR}_\alpha=\mathbb{E}\{L|L\ge\text{VaR}_\alpha\}. \]

C-VaR作为风险度量函数具有一致性，即具有平移不变性、次可加性、正齐次性、单调性，进而也满足凸性。

在标准差、VaR、C-VaR风险度量函数下，如果使用期望-损失准则寻找投资方案，则最优化问题同解。

beta系数与几个重要参数：

1. Beta系数：某个投资组合\(p\)的Beta系数指的是与市场组合\(M\)的协方差与市场组合的方差之比，即

   \[\beta_{pM}=\frac{{\rm Cov}(R_p,R_M)}{\mathbb{D}(R_M)}. \]

2. Treynor比率(Treynor Ratio, TR)：指某个投资组合\(p\)的风险溢价与beta系数的比值，即

   \[\text{TR}_p=\frac{r_p-r_f}{\beta_{pM}}. \]

3. Sharpe比率(Sharpe Ratio, SR)：指某个投资组合\(p\)的风险溢价与其自身标准差的比值，即

   \[\text{SR}_p=\frac{r_p-r_f}{\sigma_p}. \]

4. Jensen指数(Jensen's Alpha)：又称投资组合的alpha值，指某个投资组合的实际收益率期望值超过按CAPM定价方式预期收益的部分，即

   \[\alpha_p=r_p-[r_f+\beta_{pM}(r_M-r_f)]. \]

这里的CAPM来自于前面得到的等式：对任何投资组合\(p\)，有

\[r_p-r_f=\beta_{pM}(r_m-r_f). \]

具体内容见于下一章。

Chapter 4：CAPM与APT

资本资产定价模型(CAPM)

CAPM模型的基本假设：

1. 市场中有\(n\)种线性无关的风险资产，且信息是已知的。
2. 市场是完备的，即不存在摩擦、允许买空卖空、资产无限可分、市场完全竞争。
3. 投资者按照均值-方差准则投资，且个体行为遵循二阶占优。
4. 所有市场交易个体具有相同的单期投资期限。
5. 市场存在无风险资产，且买卖价格相等。
6. 所有市场个体对市场中资产的参数看法一致。

CAPM模型假设所有个体都是理性的，则所有个体都只会在无风险资产\(f\)与市场组合\(M\)之间选择并调整投资比例，形成的所有投资组合\(p\)在\(\sigma-\mu\)平面上构成资本市场线(CML)：

\[r_p=r_f+\frac{r_M-r_f}{\sigma_M}\sigma_p. \]

资本市场线的截距\(r_f\)被视为时间报酬。

资本市场线的斜率\((r_M-r_f)/\sigma_M=\sqrt{H}\)被视为单位风险溢价。

在金融世界里，任何资产组合都不可能超越CML，所以单个资产组合必定位于直线的下方（因为一般不是最优的资产组合）。

证券市场线(Securities Market Line, SML)：基于资本市场线对单个资产进行定价，在\(\beta-r\)平面上构成一条直线：

\[\tilde r_p=r_f+\beta_{p}(r_M-r_f),\\ \beta_p=\frac{{\rm Cov}(R_p, R_M)}{\mathbb{D}(R_M)}. \]

衡量投资组合风险的关键，是投资组合与市场组合的协方差，而不是该组合本身的方差。

Beta系数由Sharpe提出，是风险度量指标，反映资产组合波动性与市场波动性的关系。

• 市场组合\(M\)的Beta值为1。
• 无风险资产\(f\)的Beta值为0。
• 如果Beta系数大于1，则是进攻型证券（波动性大），否则是防守型证券。
• Beta系数越大，资产的超额收益也应该越大。
• 投资组合的Beta系数是其中单项资产Beta系数的加权平均。

例：无风险利率为3%，市场组合预期收益率为8%，某投资组合的Beta值为1.1，求投资组合的预期收益率。

解：代入SML计算得到

\[\tilde r_p=r_f+\beta_p(r_M-r_f)=8.5\%. \]

注意：SML是投资组合的期望收益，是一个有效市场给出的定价，但实际证券的收益可能偏离SML，因此有Alpha系数：

\[\alpha_p=r_p-\tilde r_p=(r_p-r_f)+\beta_p(r_M-r_f). \]

在均衡时刻，有效资产会同时位于CML和SML上，但无效资产只能位于SML线上。

投资组合的风险：任何投资组合\(p\)可以看成同预期收益率的有效资产组合和一个波动因子的结合，即

\[R_p=r_f+\beta_p(R_M-r_f)+\varepsilon_p, \]

这里\(\varepsilon_p\)是零均值且与有效资产组合、市场组合无关的项。资产组合\(p\)的风险为

\[\mathbb{D}(R_p)=\beta_p^2\mathbb{D}(R_M)+\mathbb{D}(\varepsilon_p). \]

除了无风险资产，任何资产都有\(\beta_p\ne 0\)，因此这部分风险是无法被消除的，称为系统风险。

系统风险无法通过分散化消除。它与投资组合的Beta值，与市场组合的风险（市场风险）有关。

由SML，可以认为超额收益率是对承受系统风险的补偿，并且市场只对系统风险进行补偿。

投资组合的系统风险，实际上是该投资组合与市场上所有资产的协方差加权和。

非系统风险是单向资产的特有风险，可以通过组合予以分散化，市场不会给这种风险任何酬金。

CAPM扩展模型

不具有无风险资产市场的定价模型——零-Beta资产定价模型：Black定价公式，基于零协方差投资组合，即对于任意资产\(q\)与市场组合\(M\)，有

\[r_q=r_{zc(M)}+\beta_{qM}(r_p-r_{zc(M)}). \]

相当于用零协方差投资组合代替了无风险资产。

Black定价公式基于前文提到的定理：对任何可行资产\(p\)与任意资产\(q\)，成立

\[r_q=\beta_{qp}r_p+(1-\beta_{qp})r_{zc(p)},\\ r_q-r_{zc(p)}=\beta_{qp}(r_p-r_{zc(p)}). \]

用市场组合\(M\)替代以上的可行资产\(p\)就得到Black定价公式。

不存在无风险借入情况下的CML：相当于不能够卖空无风险资产，因此在原图中，\(f\)与\(M\)之间的一段不受影响，但是超过\(M\)以后由于不能卖空无风险资产，所以只能全部投资于风险资产，所以是直线与曲线的拼接。

无风险借贷利率不相等条件下的CML：对于借和贷，分别存在射线有效集，切点即市场组合也不同。由于无风险借入的利率肯定更高，所以射线也会更平缓，切点更靠后。借入在达到借入市场组合之前是不受影响的；此后在达到借出市场组合之前，只能全部投资于有风险资产；如果还要卖空无风险资产，则按照借入利率的射线前进。

CAPM的应用

部分结论：

1. CML的斜率\(\sqrt{H}\)即为市场组合的Sharpe比率：

   \[\sqrt{H}=\frac{r_M-r_f}{\sigma_M}=\text{SR}_M. \]

2. SML的斜率即为市场组合的Treynor比率：

   \[\frac{r_M-r_f}{\beta_{M}}=\text{TR}_M. \]

3. Treynor比率只考虑系统性风险，Sharpe还考虑了非系统性风险。

4. Jenson's Alpha指标就是资产组合的收益率偏离CAPM理论值的大小：

   \[\alpha_p=r_p-r_f-\beta_p(r_M-r_f). \]

用途1：项目选择。已知某项目的\(\beta\)值，可以算出投资\(p\)元的情况下未来的预期收益\(\tilde p\)；如果这个项目带来的收益小于\(\tilde p\)，则不应该投资这个项目。同理，已知预期收益为\(\tilde p\)时，也不应该投资超过\(p\)元。

\[r=\frac{\tilde p-p}{p}=r_f+\beta_p(r_M-r_f). \]

从上式中，可以解得

\[p=\frac{\tilde p}{1+r_f+\beta_p(r_M-r_f)}. \]

这可以用于决定当前投资额。

项目的确定性等价：下式中\([\cdot]\)内的部分

\[p=\frac{1}{1+r_f}\left[\tilde p-\frac{{\rm Cov}(R_p, R_M)(r_M-r_f)}{\mathbb{D}(R_M)} \right], \]

项目选择原则：计算项目的确定性等价，贴现后与投资额比较，得到净现值为

\[\text{NPV}=-p+\frac{1}{1+r_f}\left[\tilde p-\frac{{\rm Cov}(R_p,R_M)(r_M-r_f)}{\mathbb{D}(R_M)} \right]. \]

企业将选择NPV最大的项目。

因子模型(FM)

CAPM的局限性：市场组合不可观测，使用可观测的资产组合作为替代组合，实证效果不好。

因子模型：选择一些宏观因素，经过适当的标准化后，研究这些因素与资产收益率之间的线性关系。

• 增加因子数目，形成的因子模型是多因子模型。
• 从形式上看，APT是CAPM模型的推广。
• APT的基本假设比CAPM少得多。

因子模型：假设证券的回报率只与不同的因子波动或者指标的运动有关，目的是找出这些因子并确认证券收益率对这些因素变动的敏感度。

单因子模型，对单支证券\(i\)的形式：

\[R_{it}=a_i+b_{im}f_{mt}+\varepsilon_{it}. \]

其中：

1. \(R_{it}\)是在给定时间内，证券\(i\)的回报率。

2. \(f_{mt}\)是在给定时间内，市场因子\(m\)的相对数值。

3. \(a_i\)是截距项。

4. \(b_{im}\)是证券\(i\)对市场因子\(m\)变动的敏感度。

5. \(\varepsilon_{it}\)是随机误差项，满足以下条件：

   \[\mathbb{E}(\varepsilon_{it})=0,{\rm Cov}(\varepsilon_{it},f_{mt})=0,{\rm Cov}(\varepsilon_{it},\varepsilon_{jt})=0. \]

对因子模型主要作的处理是回归分析。

单因子模型的一般形式：\(\forall i\)，

\[R_{it}=a_{i}+b_{i}f_{t}+\varepsilon_{it}. \]

其中：

1. \(f_t\)是在时间\(t\)内公共因子的预测值。
2. \(R_{it}\)是时期\(t\)内证券\(i\)的回报率。
3. \(\varepsilon_{it}\)是时期\(t\)内证券\(i\)的特有回报。
4. \(a_i\)是常数因子。
5. \(b_i\)是证券\(i\)对公共因子\(f_i\)的敏感度，称为因子载荷。

如果只在某特定时间考虑，则扣掉角标\(t\)，使得单因子模型变为

\[R_i=a_i+b_if+\varepsilon_i,\\ \mathbb{E}(\varepsilon_i)=0,\\ {\rm Cov}(\varepsilon_i,f)=0,\\ {\rm Cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0. \]

单因子模型的风险分析：由于\(r_i=a_i+b_if+\varepsilon_i\)，有

\[\mathbb{D}(r_i)=b_i^2\mathbb{D}(f)+\mathbb{D}(\varepsilon_i),\\ {\rm Cov}(R_i,R_j)=b_ib_j\mathbb{D}(f). \]

单因子模型的优点：

1. 简化计算，估计量数目减少。
2. 满足风险的分散化。

多因子模型：

\[R_i=a_i+\sum_{j=1}^mb_{ij}f_j+\varepsilon_i.\\ \mathbb{E}(\varepsilon_i)=0,\\ {\rm Cov}(\varepsilon_i,f_j)=0,\\ {\rm Cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0. \]

套利定价理论(APT)

套利：同时持有一种或多种资产的多头或空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险资产的收益。

无套利原则：两种具有相同风险的资产（组合）不能以不同的期望收益率出售。

APT的基本原理：由无套利原则，在因子模型下，具有相同因子敏感性的资产（组合）应当提供相同的期望收益率。

• APT模型不基于马科维茨投资理论，而是基于无套利原则和因子模型，从而规避了许多重要但实际上不成立的假设。
• APT模型不要求人人一致行动，只要求少数投资者的套利活动就能消除套利机会。
• APT模型不要求投资者是风险规避的。

APT的基本假设：

1. 市场上的交易不存在摩擦、允许卖空、无限可分、完全竞争。
2. 市场是无套利的。
3. 市场中存在无风险资产，且借贷利率相等。
4. 所有个体对市场中资产收益率有相同预期，且收益率满足K因子模型。
5. 资产数目足够多，至少大于因子数目K。

套利组合满足的条件：

自融资组合：套利组合中一种证券的购买所需要的资金，可以通过卖出别的证券来提供。

无风险组合：套利组合对任何因子的波动率为0。

正收益组合：套利组合的期望收益大于0。

无误差项的套利定价模型：

假设\(n\)种资产的收益率由\(m\)个因子决定（不含误差项），即

\[R_i=a_i+\sum_{j=1}^mb_{ij}f_i, \]

则资产收益率\(r_i\)满足

\[r_i=\lambda_0+\sum_{j=1}^mb_{ij}\lambda_j. \]

有误差项的套利定价模型：

渐进无套利假设：市场上不存在极限意义下的套利机会，即方差收敛于0的套利组合。

套利定价模型：在以上假设下，有

\[r_i-r_f\approx\sum_{j=1}^Kb_{ij}(\mathbb{E}(f_j)-r_f). \]

接下来我们将约等号视作等号处理。

单因子模型定价：\(r_i=r_f+\beta_i f_i\)，可以据此绘制\(\beta-r\)平面上的APT定价线。

纯因子组合：在单因子模型下，考虑一个使得\(\beta_i=1\)的组合\(p\)，则有\(f_i=r_p-r_f\)，得到

\[r_i=r_f+\beta_i(r_p-r_f). \]

在两因子模型下，考虑一个使得\(\beta_1=1,\beta_2=0\)的组合\(p_1\)与一个\(\beta_1=0,\beta_2=1\)的组合\(p_2\)，得到

\[r_i-r_f=\beta_1(r_{p_1}-r_f)+\beta_2(r_{p_2}-r_f). \]

同理在多因子模型下，也能够构造一个如下的定价模型：

\[r_i=r_f+\sum_{j=1}^K\beta_j(r_{p_j}-r_f). \]

如果纯因子组合不是市场组合，则APT与CAPM可能不一致。但市场组合在实际中无法得到，所以在实际应用中，APT的适用性更强。

Chapter 5：期权定价理论

期权

期权：是指赋予其购买者在规定期限内，按双方约定的价格（执行价格）购买或出售一定数量的某标的资产的权利的合约。

看涨期权(Call)：持有人拥有购买标的资产的权利，称为买权。

看跌期权(Put)：持有人拥有出售标的资产的权利，称为卖权。

欧式期权(European)：到期日才可以行权的期权。

美式期权(American)：到期日前的任意时间都可以行权的期权。

百慕大式期权(Bermuda)：到期日之前的固定时间可以行权的期权。

期权等类(Option Class)：所有覆盖同一标的物的期权。

风险特征：单边风险工具，只保护一个方向的变化。

在期权到期日：

买权多头：\(\max(S_T-K,0)\)，卖权空头：\(-\max(S_T-K,0)\)；

卖权多头：\(\max(K-S_T,0)\)，卖权空头：\(-\max(K-S_T,0)\)。

影响期权价值的因素：股价、执行价格、距离到期的时间、波动率、无风险利率、股票红利。

牛市价差组合(Calls)：适合在牛市盈利，牺牲掉一部分牛市的收益来确保自己不会在熊市发生过高的亏损。注意到买权的执行价格越低则期权价格越高，所以\(C\)与\(K_{C}\)负相关。

牛市价差组合的构建：投资者买进一个执行价格\(K_L\)较低的看涨期权，又卖出一个标的物相同、到期日相同但执行价格\(K_H\)较高的看涨期权，也就是\(K_L<K_H\)、\(C_L>C_H\)。

如果\(S_T<K_L\)，则买入和卖出的Call都不会被执行，收益为

\[C_H-C_L<0; \]

如果\(K_L<S_T<K_H\)，则买入的Call会被执行，而卖出的Call则不会被执行，收益是

\[S_T-K_L+C_H-C_L; \]

如果\(S_T>K_H\)，则买入和卖出的Call都会被执行，收益为

\[S_T-K_L+K_H-S_T+C_H-C_L=K_H-K_L+C_H-C_L>0; \]

所以，牛市价差期权组合的收入有上限，损失有下限。

熊市价差组合(Puts)：适合在熊市盈利。注意到卖权的执行价格越高则期权价格越高，所以\(P\)与\(K_P\)正相关。

熊市价差组合的构建：投资者买入一个执行价格\(K_H\)较高的看跌期权，又卖出一个执行价格\(K_L\)较低的看跌期权，这里有\(K_H>K_L\)、\(P_H>P_L\)。

如果\(S_T>K_H\)，则买入和卖出的Put都不会被执行，收益为

\[P_L-P_H<0; \]

如果\(K_H>S_T>K_L\)，则买入的Put会被执行而卖出的Put不会被执行，收益为

\[K_H-S_T+P_L-P_H; \]

如果\(S_T<K_L\)，则买入和卖出的Put都会被执行，收益为

\[K_H-S_T-K_L+S_T+P_L-P_H=K_H-K_L+P_L-P_H>0. \]

此外，还有蝶式价差组合（适用于后市在小幅度内震荡时盈利）、底部跨式组合（适用于后市将大涨或大跌但不确定方向）、底部宽跨式组合、顶部宽跨式组合（适用于后市将继续震荡）等。

期权价格的无套利关系

定义以下的符号：时刻\(t\)欧式买权的价格为\(C_E(t)\)，欧式卖权的价格为\(P_E(t)\)，美式买权的价格为\(C_A(t)\)，美式卖权的价格为\(P_A(t)\)，期权的执行价格为\(K\)，标的股票价格为\(S(t)\)，\(T\)为期权的到期日，\(r\)为无风险利率。具有以下显然的基本关系：

1. \(0\le C_E(t)\le C_A(t)\le S(t)\)，这表明买权价格不高于标的股价，而且欧式买权价格不高于美式买权。
2. \(0\le P_E(t)\le P_A(t)\le K\)，这表明卖权价格不高于执行价，而且欧式卖权价格不高于美式卖权。
3. \(P_E(t)\le Ke^{-r(T-t)}\)，这表明欧式买权的价格不高于执行价的现值(Present Value)。
4. \(C_A(t)\ge \max\{S(t)-K,0\}\)，这表明美式买权的价格不低于现在行权实现的期权价值。
5. \(P_A(t)\ge \max\{K-S(t),0\}\)，这表明美式卖权的价格不低于现在行权实现的期权价值。

现在对欧式期权定价进行讨论，假设标的股票在有效期内不分红，则

\[C_E(t)\ge\max\{S(t)-Ke^{-r(T-t)},0\},\\ P_E(t)\ge \max \{Ke^{-r(T-t)}-S(t),0\}. \]

以上定价模型基于无套利组合，这不是一个很显然的结论。

关于第一条，需要证明\(C_E(t)\ge S(t)-Ke^{-r(T-t)}\)，也就是

\[[S(t)-C_E(t)]e^{-r(T-t)}\le K. \]

如果此式不成立，则卖空一股标的股票的同时购买一份欧式买权，剩下的钱用于投资无风险资产，这部分无风险资产到\(T\)时刻的反馈是

\[[S(t)-C_E(t)]e^{r(T-t)}. \]

如果到\(T\)时刻\(S(T)<K\)，则欧式买权不需被执行，到期收益为

\[[S(t)-C_E(t)]e^{r(T-t)}-S(T)>[S(t)-C_E(t)]e^{r(T-t)}-K>0. \]

如果到\(T\)时刻\(S(T)>K\)，则欧式买权可以被执行，到期收益为

\[[S(t)-C_E(t)]e^{r(T-t)}-K>0. \]

因此，只要构造这样的头寸，到\(T\)时刻总能实现套利。

---

关于第二条，需要证明\(P_E(t)\ge Ke^{-r(T-t)}-S(t)\)，也就是

\[K\le [P_E(t)+S(t)]e^{r(T-t)}. \]

如果此式不成立，则借入无风险资产买入一股标的股票，同时买入一份欧式卖权，这部分无风险资产到\(T\)时刻，需要偿还的金额是

\[[P_E(t)+S(t)]e^{r(T-t)}. \]

如果到\(T\)时刻\(S(T)<K\)，则欧式卖权可以被执行，到期收益为

\[K-[P_E(t)+S(t)]e^{r(T-r)}>0. \]

如果到\(T\)时刻\(S(T)>K\)，则欧式卖权不会被执行，到期收益为

\[S(T)-[P_E(t)+S(t)]e^{(T-t)}>K-[P_E(t)+S(t)]e^{r(T-t)}>0. \]

因此，只要构造这样的头寸，到\(T\)时刻总能实现套利。

对于美式期权，也有

\[C_A(t)\ge\max\{S(t)-Ke^{-r(T-t)},0 \};\\ P_A(t)\ge\max\{Ke^{-r(T-t)}-S(t),0 \}. \]

并且美式买权不可能被提前执行，因此总有\(C_E(t)=C_A(t)\)；但美式卖权可能被提前执行，所以有

\[P_A(t)\ge P_E(t)\ge\max\{Ke^{-r(T-t)}-S(t),0\}. \]

为什么美式期权不可能被提前执行：欧式买权意味着拥有者能够在任何时间借入标的股票，在\(T\)时刻用买权来对冲股票的空头，购买者需要支付的股票价格最多为\(K\)，这就保护了美式买权不会提前被执行。

（无分红）欧式期权的买权卖权平价公式：买权价格为\(C\)，欧式卖权价格为\(P\)，执行价为\(K\)，到\(T\)时刻的股价是随机变量\(S_T\)。对于同一个标的股票（不分红），以及它们的相同执行价格、相同到期日的欧式买权卖权，有

\[S=C-P+Ke^{-rT}. \]

考虑如下两个投资组合：

• 数量为\(Ke^{-rT}\)的无风险资产，一个欧式买权\(C\)。
• 一股股票\(S_0\)，一个欧式卖权\(P\)。

在\(t\)时刻，要获得者两个投资组合分别要付出的价格是

\[Ke^{-rT}+C,\quad S_0+P. \]

在\(T\)时刻，如果有\(S_T<K\)，则买权不会被执行而卖权会被执行，所以投资组合一的回报是\(K\)，投资组合2的回报是\(S_T+K-S_T=K\)，所以两个投资组合有相同的回报。

在\(T\)时刻，如果有\(S_T>K\)，则买权会被执行而卖权不会被执行，所以投资组合一的回报是\(K+S_T-K=S_T\)，投资组合二的回报是\(S_T\)，所以两个投资组合有相同的回报。

这相当于投资组合一与二是一对复制组合，因此它们应当有同样的定价，就得到了买权卖权的平价公式：

\[S_0=C-P+Ke^{-rT}. \]

（无分红）美式期权买权和卖权的关系：现在假设当前股价为\(S_0\)，美式买权价格为\(C\)，卖权价格为\(P\)，执行价为\(K\)，到\(T\)时刻股价为\(S_T\)。对于同一个标的股票（不分红），以及它们的相同执行价格、相同到期日的美式买权、卖权，有

\[S_0-K\le C-P\le S_0-Ke^{-rT}. \]

对于上界，假设同类的欧式买权价格为\(c\)，欧式卖权价格为\(p\)，则由欧式期权平价公式，有

\[c-p=S_0-Ke^{-rT}. \]

因为\(C=c,P\ge p\)，所以\(c-p\ge C-P\)，因此

\[C-P\le S_0-Ke^{-rT}. \]

对于下界，构造如下投资组合：

• A：一份欧式买权\(c=C\)，现金\(K\)，总价值为\(K+C\)；
• B：一份美式卖权\(P\)，一份股票\(S_0\)，总价值为\(S_0+P\)。

如果卖权没有被提前执行，则\(T\)时刻A的价值为\(Ke^{rT}+\max\{S_T,K\}-K\)，B的价值为\(\max\{K,S_T\}-S_T+S_T\)，由于

\[Ke^{rT}-K+\max\{S_T,K\}>\max\{K,S_T\}-S_T+S_T, \]

所以\(T\)时刻A的价值高于B的价值。

如果卖权在\(t\)时刻被提前执行，则说明\(S_t<K\)，在\(t\)时刻A的价值为\(Ke^{rt}\)，B的价值为\(K\)，所以A的价值高于B的价值。

综上所述，总存在一个时刻，使得A的价值高于B的价值，因此A的初始价值也应当高于B的初始价值，即

\[K+C\ge S_0+P\Rightarrow C-P\ge K-S_0. \]

有分红时买权和卖权的价格关系：

\[C_A(t)\ge C_E(t)\ge S(t)-{\rm PV}(D)-Ke^{-r(T-t)},\\ P_A(t)\ge P_E(t)\ge Ke^{-r(T-t)}-S(t)-{\rm PV}(D). \]

有分红时的平价公式：

\[C_E-P_E=S_0-Ke^{-rT}-D,\\ S_0-D-K\le C_A-P_A\le S_0-Ke^{-rT}. \]

时间对期权价格的影响：对于除到期日外完全一致的两种期权，对于美式期权，显然到期日长的期权价格高；对于欧式期权，如果标的股没有分红，到期日长的买权价格高：

\[T_2>T_1\&D=0\Rightarrow C_{T_2}>C_{T_1}. \]

如果这个关系不成立，即\(C_{T_2}<C_{T_1}\)，则在零时刻买入到期日长的买权，卖出到期日短的期权，现金流为\(C_{T_1}-C_{T_2}>0\)。

在\(T_1\)时刻，现金流为\(-\max\{S_{T_1}-K,0\}\)，而市场上存在的到\(T_2\)时刻结束的期权价格满足

\[C_{T_{1\to2}}\ge \max\{S_{T_1}-Ke^{-r(T_2-T_1)},0\}\ge\max\{S_{T_1}-K,0\}. \]

这也是到期日长的期权\(T_1\)时刻的价格，它大于此时损失的现金流，所以存在套利机会。

期权的斜率限制关系：对于到期日为\(T\)的欧式卖权，其执行价格\(K\)增加\(k\)，期权价格\(P_E\)增加不超过\(ke^{-rT}\)；对于欧式买权，其执行价格\(K\)增加\(k\)，期权价格\(C_E\)减少不超过\(ke^{-rT}\)。

证明对于卖权满足这样的限制：卖空高价卖权得到\(P_H\)，买入低价卖权得到\(P_L\)，净现金流为\(P_H-P_L\)，用于投资无风险资产，未来收益为\((P_H-P_L)e^{rT}\)；如果到期日期权被执行，亏损不可能超过\(k\)，所以一定有

\[P_H-P_L\le ke^{-rT}. \]

对于到期日为\(T\)的美式卖权，其执行价格\(K\)增加\(k\)，期权价格\(P_A\)增加不超过\(k\)；对于美式买权，其执行价格\(K\)增加\(k\)，期权价格\(C_A\)减少不超过\(k\)。

对于欧式买权或卖权，期权价格是执行价格\(K\)的凸函数，即二阶偏导总非负。也就是对于\(K_1\le K_2\le K_3\)，有

\[\frac{C_{E,K_3}-C_{E,K_2}}{K_3-K_2}\ge \frac{C_{E,K_2}-C_{E,K_1}}{K_2-K_1},\\ \frac{P_{E,K_3}-P_{E,K_2}}{K_3-K_2}\ge \frac{P_{E,K_2}-P_{E,K_1}}{K_2-K_1}. \]

如果给定的价格不满足这样的约束，则考虑构造资产组合：买入两份中间价格的期权，卖出低价与高价期权（或刚好相反）。

二叉树定价与风险中性模型

考虑某股票，其期初价格为\(S\)，经过一个时间步后可能上涨至\(S_U\)，也可能下跌至\(S_D\)；考虑某基于股票的衍生证券（如期权），其期初价格为\(f\)，经过一个时间步后可能上涨至\(f_U\)，也可能下跌至\(f_D\)。

1. 基于这两种基金构建一个无风险组合，只需买入\(\delta\)股股票并卖空一股\(f\)，使得有相等的期末价值，即

   \[\delta S_U-f_U=\delta S_D-f_D \\ \Downarrow \\ \delta=\frac{f_U-f_D}{S_U-S_D}. \]

2. 由于无论市场波动如何，这个投资组合会有相同的期末价值，所以构建这个投资组合的代价必定等于期末价值的现值，即

   \[(\delta S-f)e^{rT}=\delta S_U-f_U, \]

   得到衍生证券的定价：

   \[f=\delta S-(\delta S_U-f_U)e^{-rT}. \]

风险中性概率：在风险中性的世界里，股票下一期的价格期望的现值，等于当期股票价格到下一期，在这种设定下股票上涨的概率为风险中性概率，即

\[\mathbb{E}(S_T)=pS_U+(1-p)S_D=S_0e^{-rT}\Rightarrow p=\frac{Se^{rT}-S_D}{S_U-S_D}. \]

在风险中性概率下，衍生证券的定价满足：

\[f=e^{-rT}[pf_U+(1-p)f_D]. \]

将\(p\)值代入，得到

\[\begin{aligned} f=&e^{-rT}\left[\frac{(Se^{rT}-S_D)f_U}{S_U-S_D}+\frac{(S_U-Se^{rT})f_D}{S_U-S_D} \right]\\ =&e^{-rT}\left[\frac{(f_U-f_D)Se^{rT}-f_US_D+f_DS_U}{S_U-S_D} \right]\\ =&\delta S+\frac{e^{-rT}}{S_U-S_D}(f_US_U-f_US_D+f_DS_U-f_US_U)\\ =&\delta S-e^{-rT}(\delta S_U-f_U). \end{aligned} \]

这与构造固定收益组合得到的定价一致。

基于这两个公式，实际定价时只需要知道\(p,f_U,f_D\)或者\(f_U,f_D,S,S_U,S_D\)种的任意一组数据即可。

风险中性世界：在风险中性概率下，有\(\mathbb{E}(S_T)=Se^{rT}\)，这表明平均来说，股票以无风险利率增长。在风险中性世界中，每一个人都是风险中性的，投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收益是无风险利率。

在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也是正确的。

衍生证券的价格总是等于它在风险中性世界的预期收益，按照无风险利率贴现的值。

对于多步二叉树而言，每一步中股票价格或者上升到初始值的\(u>1\)倍，或者下降到初始值的\(d<1\)倍，假设无风险利率为\(r\)，每个单步二叉树的时间长度是\(T\)，则

\[p=\frac{Se^{rT}-S_D}{S_U-S_D}=\frac{e^{rT}-d}{u-d}, \\ S_{nT}=Se^{-nrT}\left[\sum_{j=0}^nC_{n}^j{pu}^j[(1-p)d]^{n-j} \right],\\ f_{nT}=e^{-nrT}\left[\sum_{j=0}^nC_{n}^jp^j(1-p)^{n-j}f_{u^jd^{n-j}} \right]. \]

对于美式期权，也可以用二叉树定价，但方法是从终点处向前递推，在除了终点以外的每一个结点处，要比较由风险中性定价算出的期权价格和提前行权得到的收益，取其最大者。

如何确定涨幅\(u\)和跌幅\(d\)：从股票波动率\(\sigma\)出发得到参数值，定义\(t\)为单位时间步长，则

\[u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}},d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}},\\ p=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}. \]

Black-Scholes期权定价公式

基本假设：

1. 资产的收益率\(r\)服从正态分布。
2. 基础资产在到期日前不付息。可以自由买卖、无限细分、允许卖空。
3. 无风险资产借贷利率相同，无限细分。
4. 期权为欧式期权，到期日前不可行权。
5. 基础资产价格连续，且价格和利率的变化在期权有效期内保持一贯。
6. 没有税收、成本、保证金要求。

股票价格的运动规律：服从对数正态分布的随机过程——几何布朗运动。

1. 股票价格连续变化。
2. 在期权期内，股票的预期收益率和方差保持不变。
3. 任何时间段股票的收益和其他时间段的收益相互独立。
4. 任何时间段股票的复利收益率服从正态分布。

假设股票\(S\)在\(t\)时刻的价格为\(S_t\)，\(H_t\)是漂移系数为\(\mu\)，扩散系数为\(\sigma\)的布朗运动，则认为

\[S_t=S_0e^{H_t}. \]

指数\(H_t\)代表股票在\([0,t]\)时间内的连续复合收益率，也可以看成股价的对数增长率，即

\[H_t=\ln\left(\frac{S_t}{S_0} \right). \]

假定\(W_t\)是标准布朗运动，则

\[H_t=\mu t+\sigma W_t\sim N(\mu t,\sigma^2t). \]

从几何布朗运动的性质，可以算出

\[\begin{aligned} \mathbb{E}(S_t)=&S_0\mathbb{E}(e^{\mu t+\sigma W_t})\\ =&S_0e^{\mu t}\cdot\mathbb{E}(e^{\sigma W_t})\\ =&S_0e^{\mu t}\int_{-\infty}^\infty e^{\sigma x}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}{\rm d}x\\ =&S_0e^{-\mu t}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp(-\frac{(x-t\sigma)^2-t^2\sigma^2}{2t}){\rm d}x\\ =&S_0e^{(\frac{\sigma^2}{2}-\mu)t} \end{aligned}. \]

这说明股价的期望收益不仅与漂移率\(\mu\)有关，也和波动率\(\sigma\)有关。

另一个角度是，假设股票的瞬间百分比收益是一个布朗运动，也就是

\[\frac{{\rm d}S_t}{S_t}=\mu{\rm d}t+\sigma{\rm d}W_t \]

因此得到一个随机微分方程：\({\rm d}S_t=\mu S_t{\rm d}t+\sigma S_t{\rm d}W_t\)。

Black-Scholes定价方程：在上述假设下，若无风险利率为\(r\)，则执行价格为\(K\)，到期日为\(T\)，标的股票当前价格为\(S_0\)的欧式买权的价格为

\[C_E=S_0\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2),\\ d_1=\frac{\ln S_0-\ln K+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}},\\ d_2=\frac{\ln S_0-\ln K+(r-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}. \]

结合平价公式\(C_E-P_E=S_0-Ke^{-rT}\)，得到欧式卖权的价格为

\[P_E=Ke^{-rT}\Phi(-d_2)-S_0\Phi(-d_1). \]

从BS公式中得到的结论：

1. 标的股价\(S_0\)越高，\(C_E\)越高，即欧式买权的价格与标的股价正相关。
2. 执行价\(K\)越高，\(C_E\)越低，即欧式买权的价格与执行价格负相关。
3. 离到期日时间\(T\)越长，\(C_E\)越高，即欧式买权价格与到期时间正相关。
4. 无风险利率\(r\)越高，\(C_E\)越高。
5. 标的资产\(\sigma\)的波动率越大，\(C_E\)越高，即欧式买权价格与标的资产风险正相关。

以上五个量是影响期权价格的因素，其中\(S_0\)、\(T\)、\(r\)、\(\sigma\)都是易变的。

补：期权的相关参数与波动率微笑

\(\Delta\)：期权价值对标的资产价格的偏导数，度量的是期权价值对标的资产价格变化的敏感性。

\[\Delta_C =\frac{\partial C_E}{\partial S_0},\quad \Delta_P=\frac{\partial P_E}{\partial S_0}. \]

利用BS公式，有

\[\Delta_C=\Phi(d_1)>0,\quad \Delta_P=\Phi(d_1)-1<0. \]

\(\Delta\)的线性性：考虑一个期权投资组合，其中所有期权的标的资产是同一种资产，则组合的\(\Delta\)值是每种期权的加权平均。

\(\Delta\)对冲：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保护的头寸作为期权投资组合的\(\Delta=0\)。由于资产的\(\Delta\)一般是时间的函数，所以需要动态调整对冲工具头寸的数量。

\(\Theta\)：期权价值对时间的偏导数，度量的是期权价值随时间衰减的速度。

\[\Theta_C=\frac{\partial C_E}{\partial t}. \]

\(\Gamma\)：期权的\(\Delta\)对标的资产价格的偏导数，也是期权对标的资产价格的二阶导。

\[\Gamma_C=\frac{\partial^2 C_E}{\partial S_0^2}. \]

\(\nu\)（Vega）：期权资产对标的资产波动率的偏导数，度量的是期权价值对标的资产波动率的敏感度。

\[\nu=\frac{\partial C_E}{\partial \sigma}. \]

\(\rho\)：期权价值对无风险利率的偏导数，度量的是期权价值对利率变化的敏感度。

\[\rho=\frac{\partial C_E}{\partial r}. \]

隐含波动率：将市场上的期权交易价格代入BS方程，反解出的波动率数值，即用标的股价、执行价格、无风险利率、到期时间反解波动率。

隐含波动率具有以下两个方向的变动规律：

• “波动率微笑”：隐含波动率随着期权执行价格不同而不同。
• 波动率期限结构：隐含波动率随期权到期时间不同而不同。

波动率微笑的形态：

• 对于货币期权而言，隐含波动率常常呈现近似U形。
• 对于股票期权，隐含波动率常常随着执行价格上升而下降，即呈现向右下方倾斜。

波动率期限结构：到期日接近时，隐含波动率变化较剧烈，而随着到期时间延长，隐含波动率将逐渐向历史波动率的平均值靠近。

波动率微笑与到期时间：期权到期日越近，波动率微笑就越显著；到期日越长，不同执行价格的隐含波动率差异越小，接近于常数。