poj1651 最优矩阵乘法动态规划解题

题目描述：

有若干个矩阵{Ai}，元素都为整数且已知矩阵大小。

如果要计算所有矩阵的乘积A1 * A2 * A3 .. Am，最少要多少次整数乘法？

输入

第一行一个整数n(n <= 100)，表示一共有n-1个矩阵。
第二行n个整数B1, B2, B3... Bn(Bi <= 100)，第i个数Bi表示第i个矩阵的行数和第i-1个矩阵的列数。
等价地，可以认为第j个矩阵Aj(1 <= j <= n - 1)的行数为Bj，列数为Bj+1。

输出

一个整数，表示最少所需的乘法次数

采用动态规划分析：

优化目标是基本运算次数最小化，而这道题关键在于确定一个乘法的次序，相当于在n个矩阵间加括号。如何界定子问题的边界是产生的问题。如果从前向后划分，所产生的子问题只有后边界，但是在计算子问题A1.....j的过程中，我们需要知道子问题A1....i和子问题A(i+1)....j的信息，所以问题需要前后两个边界。用m[i][j]表示乘积Ai....j所用的最小运算次数。假定最后一次相乘发生在Ai.....k和A(k+1).....j之间，那么m[i][j]=min(i≤k<j){m[i][k]+m[k+1][j]+B(i-1)*B(k)*B(j)};

下边是代码的c语言实现

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int MAX=10000;
int m[101][MAX];
int dp(int *p,int n){
    for(int r=2;r<=n;r++){
        for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
            int j=i+r-1;
            m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
            for(int k=i+1;k<=j-1;k++){
                int t= m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(t<m[i][j]){
                    m[i][j]=t;
                }
            }
        }
    }
    return m[1][n];
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    memset(m,0,sizeof(m));
    int p[120];　　　　
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",p+i);
    }
    int res=dp(p,n-1);
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

算法时间复杂度为O(n³)。