笔记：二分图

概念

二分图：又称作二部图，设 $G = (V, E)$ 是一个无向图，如果顶点集 $V$ 可分割为两个互不相交的子集 $A, B$ ，并且图中的每条边 $(u, v)$ 所关联的两个顶点 $u, v$ 分别属于这两个顶点集 $(u \in A, v \in B)$ ，则称图 $G$ 为一个二分图。也就是说一个图被划分成了两个不相交的集合，集合内部没有边相连。
匹配：在图 $G = (V, E)$ 中，边集 $E^{'} \subseteq E$ 被称为 $G$ 的⼀一个匹配当且仅当对于 $V$ 中的每个点， $E^{'}$ 中与其关联的边不超过一条。
最大匹配：二分图中匹配的边数最多的匹配。但最大匹配的边数是确定的，而且不可能超过图中定点数的一半。
极大匹配：无法再增加匹配边的匹配。不一定是最大匹配。
最大权匹配：加权图中，权值和最大的匹配。
最大权最大匹配：匹配数最多的前提下，边权和最大的匹配。即所有最大匹配中，边权和最大的匹配。
完美匹配：二分图中所有的点都为匹配点的匹配。
交错路：始于非匹配点且由匹配边与非匹配边交错而成。
增广路：始于非匹配点且终于非匹配点（除了起始的点）的交错路。增广路中边的数量是奇数。
- 增广路上非匹配边比匹配边数量多 $1$ ，如果将增广路上的匹配边和未匹配边反转，则匹配数量会增加 $1$ 且依然是交错路。
- 根据增广路定理，当找不到增广路的时候，得到最大匹配。
- 简证一下：因为增广操作每次只会使得两端的未匹配点变成匹配点，不会出现增广后有匹配点变成未匹配点的情况，所以每个点作为未匹配点只需要增广一次。
二分图最小顶点覆盖：
- 定义：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边。最小顶点覆盖就是选择最少的点来覆盖所有的边。
- 定理：最小顶点覆盖等于二分图的最大匹配。
最大独立集：
- 定义：选出一些顶点使得这些顶点两两不相邻，则这些点构成的集合称为独立集。找出一个包含顶点数最多的独立集称为最大独立集。
- 定理：最大独立集 = 所有顶点数 - 最小顶点覆盖 = 所有顶点数 - 最大匹配

二分图的判定

一般用染色法判断一个图是否为二分图。染色法的基本思想是，如果一个图是二分图，那么任何一个顶点的邻居都应该属于与该顶点不同的集合，因此可以用两种颜色对图中的顶点进行染色，以检验是否满足这个条件。

模板：P1330 封锁阳光大学 - 洛谷
裸的二分图判定，注意图不是连通的，所以每一个连通块选择的颜色可能不一样，我们应该选两种颜色中出现次数较小者。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 图不是连通的，所以对于每一个连通块，所选点的颜色可能不一样。
// 因此需要用一个桶来记录同一个连通块中两种颜色出现的次数，并选择其中的较小者。
const int maxn = 1e4 + 5;
const int maxm = 1e5 + 5;
int n, m;
int head[maxn], color[maxn], counter[maxn];
struct Edge {
	int to, next;
} edge[maxm << 1];

inline void insertEdge(int u, int v) {
	static int edgecnt;
	edge[++edgecnt].to = v;
	edge[edgecnt].next = head[u];
	head[u] = edgecnt;
}

bool dfs(int u, int col) {
	color[u] = col;
	counter[color[u]]++;
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
		int v = edge[i].to;
		if (!color[v]) {
			if (!dfs(v, 3 - col)) {
				return false;
			}
		} else if (color[v] == color[u]) {
			return false;
		}
	}
	return true;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		insertEdge(u, v);
		insertEdge(v, u);
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!color[i]) {
			counter[1] = counter[2] = 0; // 对每一个联通块都要先清空。
			if (!dfs(i, 1)) {
				printf("Impossible");
				return 0;
			}
			ans += min(counter[1], counter[2]);
		}
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

二分图最大匹配：匈牙利算法

原理就是寻找增广路，在上文有提到。

算法步骤：

初始化：选择一个未匹配的左半部顶点作为起始点，尝试与其相连的右半部
顶点进行匹配。
深度优先搜索：从起始点出发，沿着增广路径进行深度优先搜索，直到找到
一个未匹配的右半部顶点或者路径不通为止。
匹配调整：如果找到了未匹配的右半部顶点，就将起始点和这个顶点之间的
边加入到匹配中，并将路径上的所有非匹配边改为匹配边，将匹配边改为非
匹配边。
重复步骤：如果路径不通，回退到前一个未匹配的左半部顶点，尝试与其相
连的其他右半部顶点进行匹配，直到找到一个可行的匹配或者所有可能的匹
配都尝试完毕。
终止条件：当所有左半部的顶点都尝试过匹配，且没有找到新的增广路径
时，算法结束。

模板：P3386 【模板】二分图最大匹配 - 洛谷

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 505;
int n, m, e;
int graph[maxn][maxn]; // graph[u][v] 表示左边的 u 与右边的 v 是否有连边。
int match[maxn]; // match[v] = u 表示右部节点 v 被左部的 u 匹配。
bool visited[maxn]; // visited[v] 表示右部节点 v 是否被左部匹配。

bool dfs(int u) {
	for (int v = 1; v <= m; v++) { // 枚举右部节点
		// 寻找增广路
		if (graph[u][v] && !visited[v]) {
			visited[v] = true; // 标记为已匹配，接下来不会再被匹配。
			// 如果 v 没有匹配对象，或 v 的匹配对象能找到新的匹配对象
			// 则 v 与 u 相匹配（找到增广路）
			if (!match[v] || dfs(match[v])) {
				match[v] = u;
				return true;
			}
		}
	}
	// 尝试了所有匹配，没有找到新的增广路。
	return false;
}

int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &e);
	for (int i = 1; i <= e; i++) {
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		graph[u][v] = 1;
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans += dfs(i);
		memset(visited, 0, sizeof(visited));
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}