CF797E Array Queries 题解

Problem - E - Codeforces

题意

给定一个大小为 $n(1\le n\le {10}^5)$ 的数组 $a$，其中任意元素不大于 $n$。
有 $q$ 个询问，每个询问包含俩整数，$p,k(1\le p,k\le n)$，每次询问包含若干操作：将 $p$ 变为 $p+a_p+k$，求在本次询问中，需要多少次操作才能使得 $p>n$。

我模拟了十几分钟没看懂样例，结果发现题读错了。

• 原题面

a is an array of n positive integers, all of which are not greater than n.

You have to process q queries to this array. Each query is represented by two numbers p and k. Several operations are performed in each query; each operation changes p to p + a__p + k. There operations are applied until p becomes greater than n. The answer to the query is the number of performed operations.

分析

首先想到朴素的方法就是对于每一个询问依次模拟，但是 ${10}^5$ 的数据，显然会超时。可以发现到，询问是可以通过 DP 预处理的，在预处理之后，每次询问可以做到 $O(n)$。令 $f[p][k]$ 表示询问为 $(p,k)$ 时的答案，则转移方程如下：

$$\begin{array}{rl}f[p][k]& =1(p+a_p+k>n)\\ f[p][k]& =f[p+a_p+k][k]+1(p+a_p+k\le n)\end{array}$$

转移时 $p$ 显然应当从大到小，因为 $p+a_p+k$ 必然大于 $p$，而 $f[p][k]$ 可由 $f[p+a_p+k][k]$ 转移而来。

说了半天还不是解决不了问题，你看 $p,k$ 取值范围都多大了？

没错，纯 DP 确实解决不了问题，但是这正是本题的精妙之处。注意上面的公式 $p=p+a_p+k$，按照这个式子，$p$ 的每次操作都至少会增加 $k$，那么 $k$ 大了之后的增长会很快，因此如果 $k$ 比较大的时候可以直接模拟，而 $k$ 比较小的时候，则通过 DP 预处理，询问时直接输出答案即可。

我们将 $k\le 300$ 的情况都给 DP 预处理出来，而大于 $300$ 的部分则直接按公式模拟。结合题目所给出的数据范围，复杂度可以认为是 $O(n\sqrt{n})$，可以通过此题。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 5;
int n, q;
int arr[maxn];
int f[maxn][305];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &arr[i]);
    }
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = 1; j <= 300; j++) {
            if (i + arr[i] + j > n) f[i][j] = 1;
            else f[i][j] = f[i + arr[i] + j][j] + 1;
        }
    }
    scanf("%d", &q);
    while (q--) {
        int p, k;
        int ans = 0;
        scanf("%d%d", &p, &k);
        if (k <= 300) {
            printf("%d\n", f[p][k]);
            continue;
        }
        while (p <= n) {
            p = p + arr[p] + k;
            ans++;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}