lowbit 与 highbit

lowbit

lowbit 在竞赛中还是很常见的，比如树状数组就必须要用 lowbit。

lowbit 的原理是利用原码, 反码, 补码的性质来获得数字在二进制下最低位的 $1$。理解了原码，反码，补码，就不难理解 lowbit 了。

lowbit 代码如下：

inline int lowbit(int x) {  
    return x & -x;  
}

以一个例子来理解上面的代码（假设你已经理解了原码，反码，补码）：

• 我们假设 $n=8$。$8$ 的二进制为 ： $00001000$。
• 对 $8$ 取反的二进制为：$11110111$。
• 再对取反 $8$ 加一（补码）的二进制为：$11111000$。
• 进行与操作之后：$00001000$。
  就得到了我们的 $lowbit(8)=8$

highbit

这个相对来说要少见些。

顾名思义，它干的事与 lowbit 相反，求的是数字在二进制下最高位的 $1$。

其原理是将一个数二进制下最高位的 $1$ 及其右面的每一位都补充为 $1$，然后把最高位右面的都减掉，剩下就是最高位的 $1$。代码如下：

int highbit(int x){  
    x |= x >> 1;  
    x |= x >> 2;  
    x |= x >> 4;  
    x |= x >> 8;  
    x |= x >> 16;  
    return x - (x >> 1);  
}

为什么这样写呢？

我们假设 $x$ 在二进制下只有最高位是 $1$，其余位都是 $0$。通过 highbit 函数的第一行，我们通过右移 $1$ 位并与原来的 $x$ 异或，将 $x$ 最高位往右一位填充为了 $1$，现在总共有连续的两个 $1$。接着通过第二行，可以继续向右填充两位，现在统共有 $4$ 位 $1$ 了。接下来的代码以此类推，我们就可以把右面全部填充为 $1$ 了，最后 x - (x >> 1) 就可以得到我们想要的 highbit 了。

推广一下，如果最高位右面还有 $1$，上面的代码依旧是正确的。

上面的函数返回值是 int 型的，如果用别的类型，可以自行调整右移位数。