第二类斯特林数

第二类斯特林数（Stirling Number）

第二类斯特林数（斯特林子集数）$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$，也可记做 $S(n,k)$，表示将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个互不区分的非空子集的方案数。

递推式

$$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right\}+k\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right\}$$

其中 $\left\{\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right\}=[n=0]$。

考虑用组合意义来证明。

我们插入一个新元素时，有两种方案：

1. 将新元素单独放入一个子集，有 $\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right\}$ 种方案；
2. 将新元素放入一个现有的非空子集，有 $k\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right\}$ 种方案。

根据加法原理，将两式相加即可得到递推式。

相关公式

$$n^k=\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}\times i!\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})$$

很好理解，左边就是 $k$ 个球可以任意放置在 $n$ 个盒子里。
右边就是枚举非空盒子的数量 $i$，那么把 $k$ 个球放在 $i$ 个盒子（盒子不同，需要乘上一个 $i!$）里面再乘上选出 $i$个非空盒子的方案数。

有了这个东西，我们可以很方便的维护一些东西。