一些数论知识点

Lucas定理：

$C_{b}^{a}\pmod p= C_{b/p}^{a/p}*C_{b \pmod p}^{a \pmod p}\pmod p$

通常在p较小时用。

对于$C_{b/p}^{a/p}$，递归计算，

对于$C_{b \pmod p}^{a \pmod p}$，通过预处理阶乘和阶乘的逆元求。

至于证明。。我也不会。

模板：洛谷3807

#include<cstdio>
const int maxn=100000;
typedef long long ll;
ll fac[maxn+10],invfac[maxn+10];
ll fpow(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p) if(b&1) ans=ans*a%p;
    return ans;
}
ll prework(ll p){
    fac[0]=invfac[0]=1;
    for(int i=1;i<=maxn;++i){
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
        invfac[i]=fpow(fac[i],p-2,p);
    }
}
ll c(ll a,ll b,ll p){
    if(a>b) return 0;
    return fac[b]*invfac[a]%p*invfac[b-a]%p;
}
ll lucas(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    for(;a;a/=p,b/=p) ans=ans*c(a%p,b%p,p)%p;
    return ans;
}
ll t,a,b,p;
int main(){
    scanf("%lld",&t);
    for(;t--;){
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p); prework(p);
        printf("%lld\n",lucas(b,a+b,p));
    }
    return 0;
}

 中国剩余定理：

 模板：XJOI2190

#include<cstdio>
typedef long long ll;
const int mod[4]={0,23,28,33};
int a[6],cas,ans,p=mod[1]*mod[2]*mod[3],phi[4],d;
int phi_c(int x){
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;++i) if(x%i==0){
        ans=ans/i*(i-1); for(;x%i==0;x/=i);
    }
    if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}
int fpow(int a,int b){
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p) if(b&1) ans=ans*a%p;
    return ans;
}
int main(){
    for(int i=1;i<=3;++i) phi[i]=phi_c(mod[i]);
    for(scanf("%d%d%d%d",&a[1],&a[2],&a[3],&d);a[1]!=-1||a[2]!=-1||a[3]!=-1||d!=-1;scanf("%d%d%d%d",&a[1],&a[2],&a[3],&d)){
        ans=0;
        for(int i=1;i<=3;++i){
            int now=1;
            for(int j=1;j<=3;++j) if(i!=j) now*=mod[j];
            (ans+=a[i]*now%p*fpow(now,phi[i]-1)%p)%=p;
        }
        for(;ans<=d;ans+=p); ans-=d;
        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",++cas,ans);
    }
}