高等数学函数求导

基本公式求导

1. \((C)'=0\)

2. \((x^a)'=ax^a-1\)

3. \((a^x)'=a^xlna\)

   \((e^x)'=e^x\)

4. \((log~a~x)'=\frac{1}{xlna}\)

   \((lnx)'=\frac{1}{x}\)

5. 三角函数相关

   1. \((sinx)'=cosx\)
   2. \((cosx)'=-sinx\)
   3. \((tanx)'=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x\)
   4. \((cotx)'=-csc^2x\)
   5. \((secx)'=secxtanx\)
   6. \((cscx)'=-cscxcotx\)

6. 反三角函数相关

   1. \((arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)\)
   2. \((arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)\)
   3. \((arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}(-\infin<x<+\infin)\)
   4. \((arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}(-\infin<x<\infin)\)

四则运算求导：

1. \((u\plusmn v)'=u'\plusmn v'\)
2. \((uv)'=u'v+uv'\)
3. \((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)

复合函数求导

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'[\psi(x)]\cdot\psi'(x)\)

高阶求导

• 归纳法

  • \(sinx\)的n阶导数：\((sinx)^{(n)}=sin(x+\frac{n\pi}{2})\)

    \(cosx\)的n阶导数：\((cosx)^{(n)}=cos(x+\frac{n\pi}{2})\)

  • \(y=e^xsinx\)的n阶导数：\(y^{(n)}=(\sqrt2)^{(n)}e^xsin(x+\frac{n\pi}{4})\)

  • \(y=\frac{1}{ax+b}\)的n阶导数：\(y^{(n)}=\frac{(-1)^nn!\times a^n}{(ax+b)^{n+1}}\)

  • \(y=ln(ax+b)\)的n阶导数：\(y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!\times a^n}{(ax+b)^n}\)

• 公式法

  莱布尼茨公式：

  \((u v)^{(n)}=C^0_nu^{n}v+C^1_nu^{n-1}v'+C^2_nu^{n-2}v''+……+C^n_n u v^{(n)}\)

隐函数求导

由参数方程确定的导数