行列式

行列式的性质

性质一　　经过转置行列式的值不变，即 \(|A^T|=|A|\) .


性质二　　两行（或列）互换位置，行列式的值变号.

　　特别的　　两行（或列）相同，行列式的值为 \(0\) .


性质三　　某行（或列）如有公因子 \(k\)，则可把 \(k\) 提出行列式记号外.（亦即用数 \(k\) 乘行列式 \(|A|\) 等于用 \(k\) 乘它的某行（或列））.

　　特别的　　1）某行（或列）的元素全为 \(0\) ，行列式的值为 \(0\) .
　　　　　　　2）若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为 \(0\) .


性质四　　如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和.

\(\begin{vmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 & a_3+b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix}\)


性质五　　把某行（或列）的 \(k\) 倍加到另一行（或列），行列式的值不变.

\(\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1+ka_1 & b_2+ka_2 & b_3+ka_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\)

行列式按行（或列）展开公式

在 \(n\) 阶行列式中划去 \(a_{ij}\) 所在的第 \(i\) 行、第 \(j\) 列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 \(n-1\) 阶的行列式称其为 \(a_{ij}\) 的余子式，记为 \(M_{ij}\) ；称 \((-1)^{i+j}M_{ij}\) 为 \(a_{ij}\) 的代数余子式，记为 \(A_{ij}\) ，即 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)

定理1.1　　\(n\) 阶行列式等于它的任何一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 \(|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum a_{ik}A_{ik}\)

定理1.2　　行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为 \(0\) ,即
\(\sum a_{ik}A_{jk}=|A|=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0, \qquad i \ne j\)

两个特殊的拉普拉斯展开式
如果 \(A\) 和 \(B\) 分别是 \(m\) 阶和 \(n\) 阶矩阵，则

\(\begin{vmatrix} A & * \\ 0 & B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A & 0 \\ {*} & B \end{vmatrix}=|A| \cdot |B|\)

\(\qquad \begin{vmatrix} 0 & A \\ B & * \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} {*} & A \\ B & 0 \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A| \cdot |B|\)

范德蒙行列式
\(\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod(x_i-x_j)\)

克拉默法则

定理1.3
若 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知量构成的非齐次线性方程组
\(\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=b_2 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n&=b_n \end{matrix}\right.\)

的系数行列式 \(|A| \ne 0\) ,则方程组有唯一的解，且

\(x_i={|A_i|\over |A|}\)

其中 \(|A_i|\) 是 \(|A|\) 中第 \(i\) 列元素（即 \(x_i\) 的系数）替换成方程组右端的常数项 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\) 所构成的行列式


推论　　若包含 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知量构成的齐次线性方程组
\(\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=0 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n&=0 \end{matrix}\right.\)

的系数行列式 \(|A| \ne 0\) 的充要条件是方程组有唯一零解.
　　反之，若齐次线性方程组有非零解，充要条件是其系数行列式 \(|A|=0\) .