求极限方法
利用基本极限求极限
1）常用基本极限
\(\underset{x \to 0}{lim}{sinx \over x}=1\)
\(\underset{x \to 0}{lim}{(1+x)^{1 \over x}}=e\) \(\underset{x \to \infty}{lim}{(1+{1 \over x})^x}=e\)
\(\underset{x \to 0}{lim}{{a^x-1 \over x}}=lna\)
\(\underset{x \to \infty}{lim}{\sqrt[n]{n}}=1\) \(\underset{x \to \infty}{lim}{\sqrt[n]{a}}=1,(a>0)\)
\(\underset{x \to \infty }{lim}\frac{a_n\ x^n\ +a_{n-1}\ x^{n-1}\ +\cdots+a_1\ x+a_0}{b_m\ x^m\ +b_{m-1}\ x^{m-1}\ +\cdots+b_1\ x+b_0}={ \begin{cases} {a_n \over b_m} \qquad & n = m \\ 0 \qquad & n \lt m \\ \infty \qquad & n \gt m \end{cases} }\)
\(\underset{x \to \infty}{lim}x^n=
\begin{cases}
0 \qquad & |x| \lt 1 \\
\infty \qquad & |x| \gt 1 \\
1 \qquad & x = 1 \\
不存在 \qquad & x=-1
\end{cases}
\)
2）"\(1^\infty\)"型极限常用结论
归纳为以下三部:
(1) 写标准形式 原式 = \(lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}\)
(2) 求极限 \(lim\alpha(x)\beta(x)=A\)
(3) 写结果 原式 \(=e^A\)
利用等价无穷小代换求极限
1）代换原则:
a）乘除关系可以换
若\(\alpha \sim \alpha_1,\beta \sim \beta_1,则lim{\alpha \over \beta}=lim{\alpha_1 \over \beta}=lim{\alpha \over \beta_1}=lim{\alpha_1 \over \beta_1}\)
b）！！！加减关系在一定条件下可以换
若\(\alpha \sim \alpha_1,\beta \sim \beta_1,且lim{\alpha_1 \over \beta_1}=A \ne 1.则\alpha - \beta \sim \alpha_1 -\beta_1\)
若\(\alpha \sim \alpha_1,\beta \sim \beta_1,且lim{\alpha_1 \over \beta_1}=A \ne -1.则\alpha + \beta \sim \alpha_1 +\beta_1\)
2）常用的等价无穷小
当 \(x \to 0\)时
\(x \sim sinx \sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim ln(1+x) \sim e^x-1\)
\(a^x-1 \sim xlna \qquad \qquad (1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x \qquad \qquad 1-coxs \sim {1 \over 2}x^2\)
\(x-sinx \sim {1 \over 6}x^3 \qquad \qquad tanx-x \sim {1 \over 3}x^3 \qquad \qquad x-ln(1+x) \sim {1 \over 2}x^2\)
\(arcsinx-x \sim {1 \over 6}x^3 \qquad \qquad x-arctanx \sim {1 \over 3}x^3\)
利用有理运算法则求极限
有理运算法则
若 \(limf(x)=A, \qquad limg(x)=B\) 那么：
\(lim(f(x) \pm g(x)) = limf(x) \pm limg(x)\)
\(lim(f(x) \cdot g(x)) = limf(x) \cdot limg(x)\)
\(lim({f(x) \over g(x)}) = {limf(x) \over limg(x)} \qquad (B \ne 0)\)
【注】1）存在 \(\pm\) 不存在 \(=\) 不存在；
2）不存在 \(\pm\) 不存在 \(=\) 不一定；
3）存在 \(\times \div\) 不存在 \(=\) 不一定；
4）不存在 \(\times \div\) 不存在 \(=\) 不一定；
常用的结论
1）\(limf(x)=A \ne 0 \Longrightarrow limf(x)g(x)=A \cdot limg(x)\)
即：极限非零的因子的极限可以先求出来
2）\(lim{f(x) \over g(x)}存在,且limg(x)=0 \Longrightarrow limf(x)=0\)
3）\(lim{f(x) \over g(x)}=A \ne 0,且limf(x)=0 \Longrightarrow limg(x)=0\)
