函数的极限
函数的极限
1. 自变量趋近于无穷大时的函数极限
定义
\(\underset{x\to+\infty}{lim} f(x)=A\)
\(\forall \varepsilon \gt 0,\exists X \gt 0,当x \gt X\) 时，恒有 \(|f(x)-A|\lt \varepsilon\)
\(\underset{x\to-\infty}{lim} f(x)=A\)
\(\forall \varepsilon \gt 0,\exists X \gt 0,当x \gt -X\) 时，恒有 \(|f(x)-A|\lt \varepsilon\)
\(\underset{x\to\infty}{lim} f(x)=A\)
\(\forall \varepsilon \gt 0,\exists X \gt 0,当|x| \gt X\) 时，恒有 \(|f(x)-A|\lt \varepsilon\)
定理
\(\underset{x\to\infty}{lim} f(x)=A \Longleftrightarrow \underset{x\to＋\infty}{lim} f(x)=\underset{x\to-\infty}{lim} f(x)=A\)
2. 自变量趋近于有限值时函数的极限
定义 \(\underset{x\to {x_0}}{lim} f(x)=A\)
\(\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta \gt 0,当0 \lt |x - x_0| \lt \delta\) 时，恒有 \(|f(x)-A|\lt \varepsilon\)
【注】 （1） \(\epsilon\) 的任意性 （２）\(x\to x_0,但 x \ne x_0\)
定理
\(\underset{x\to x_0}{lim} f(x)=A \Longleftrightarrow \underset{x\to x^+_0}{lim} f(x)=\underset{x\to x^-_0}{lim} f(x)=A\)
需要分左、右极限求极限的问题主要有三种：
- 分段函数在f分界点处的极限
- \(e^\infty\) 型极限
- \(arctan \infty\) 型极限
极限的性质
1. 有界性
１）（数列）如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛，那么数列 \(\{x_n\}\) 一定有界
２）（函数）若 \(\underset{x \to x_0}{lim}f(x)\) 存在，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的去心邻域有界（即局部有界）
2. 保号性
１）（数列）设 \(\underset{n \to \infty}{lim} = A\)
（１）如果 $A \gt 0 $ \((或 A\lt0)\)，则存在 \(N \gt 0,当n \gt N时，x_n \gt 0\) （或 \(x_n \lt 0\)）
（２）如果存在 $N \gt 0 $ ，当\(n \gt N时，x_n \ge 0\) （或 \(x_n \le 0\)），则 \(A \ge 0\) （或 \(A\le 0\)）
２）（函数）设 \(\underset{n \to x_0}{lim} = A\)
（１）如果 $A \gt 0 $ \((或 A\lt0)\)，则存在 \(\delta \gt 0,当x \in U(x_0,\delta)时，f(x) \gt 0\) （或 \(f(x) \lt 0\)）
（２）如果存在 $\delta \gt 0 $ ，当 \(x \in U(x_0,\delta)时，f(x) \ge 0\) （或 \(f(x) \le 0\)），则 \(A \ge 0\) （或 \(A\le 0\)）
3. 极限值与无穷小之间的关系
$lim f(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)$ 其中 $lim \alpha(x)=0$
极限存在准则
1. 夹逼准则
若存在$N，当 n \gt N时，x_n \le y_n \le z_n，且\underset{n \to \infty}{lim}x_n=\underset{n \to \infty}{lim}z_n=a，则 \underset{n \to \infty}{lim}y_n=a$
2. 单调有界准则
（1） 单调有界数列必有极限；
（2） 单调增、有上界的数列必有极限；
（3） 单调减、有下界的数列必有极限；
无穷小量
1. 无穷小量的概念
若函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\)（或 \(x \to \infty\)）时的j极限为零，则称 \(f(x)\) 为 \(x\to x_0\)（或 \(x \to \infty\)）时的无穷小量
2. 无穷小量的比较
（1）高阶：若 $lim{\alpha(x)\over \beta(x)}=0; $记为 \(\alpha(x)=o(\beta(x));\)
（2）低阶：若 \(lim{\alpha(x)\over \beta(x)}=\infty;\)
（3）同阶：若 \(lim{\alpha(x)\over \beta(x)}=C\ne0;\)
（4）等价：若 \(lim{\alpha(x)\over \beta(x)}=1;\) 记为 \(\alpha(x)\sim o(\beta(x));\)
（5）无穷小的阶：若 \(lim{\alpha(x)\over [\beta(x)]^k}=C\ne0;\) 称 \(\alpha(x)是\beta(x)的k\) $ 阶无穷小;$
3. 无穷小量的性质
（1）有限个无穷小的和仍是无穷小
（2）有限个无穷小的积仍是无穷小
（3）无穷小量与有界变量的积仍是无穷小
无穷大量
1. 无穷大量的概念
若函数 \(f(x)\) 当 $ x \to x_0$（或 $ x \to \infty$）时趋向于无穷，则称 \(f(x)\) 为 $ x \to x_0$（或 $ x \to \infty$）时的无穷大量
2. 常用的一些无穷大量的比较
（1）当 $ x \to +\infty$ 时
\(ln^\alpha x \ll x^\beta \ll a^x\)，其中 \(\alpha \gt 0,\beta \gt 0,a \gt 1\)
（2）当 $ x \to \infty$ 时（常对幂指阶）
\(ln^\alpha n\ll n^\beta \ll a^n \ll n! \ll n^n\)，其中 \(\alpha \gt 0,\beta \gt 0,a \gt 1\)
3. 无穷大量的性质
（1）两个无穷大量的积仍为无穷大量
（2）无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量
4. 无穷大量与无界变量的关系
（1）数列 $\{x_n\}$ 是无穷大量
\(\forall M \gt 0, \exists N \gt 0，当 n \gt N时，恒有|x_n| \gt M\)
（2）数列 \(\{x_n\}\) 是无界变量
\(\forall M \gt 0, \exists N \gt 0，使|x_n| \gt M\)
无穷大量 \(\Rightarrow\)无界变量
5. 无穷大量与无穷小量的关系
在同一极限过程中，如果 \(f(x)\) 是无穷大，则 $ 1\over f(X)$ 是无穷小；反之，如果 \(f(x)\) 是无穷小，且 $f(x) \ne 0 $ ，则 $ 1\over f(X)$ 是无穷大；
