函数的极限

函数的极限

1. 自变量趋近于无穷大时的函数极限

　　　　定义　


　　　　　　　　$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$

　　　　　　　$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0,\mathrm{当}x>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$


　　　　　　　　$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$

　　　　　　　$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0,\mathrm{当}x>-X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$


　　　　　　　　$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$

　　　　　　　$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0,\mathrm{当}|x|>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$

　　　　定理　

　　　　　　　　$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A ⟺ \underset{x\to ＋\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$

2. 自变量趋近于有限值时函数的极限

　　　　定义　$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$

　　　　　　　$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{当}0<|x-x_0|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$

　　　　　【注】　（1） $ϵ$ 的任意性　（２）$x\to x_0,\mathrm{但}x\ne x_0$

　　　　定理　

　　　　　　　　$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A ⟺ \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A$

需要分左、右极限求极限的问题主要有三种：

1. 分段函数在f分界点处的极限
   
   
2. $e^{\mathrm{\infty }}$ 型极限
   
   
3. $arctan\mathrm{\infty }$ 型极限

极限的性质

1. 有界性

　　　　１）（数列）如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，那么数列 $\{x_n\}$ 一定有界


　　　　２）（函数）若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域有界（即局部有界）

2. 保号性

　　　　１）（数列）设 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}=A$

　　　　　（１）如果 $A>0$ $(\mathrm{或}A<0)$，则存在 $N>0,\mathrm{当}n>N\mathrm{时}，x_n>0$ （或 $x_n<0$）


　　　　　（２）如果存在 $N>0$ ，当$n>N\mathrm{时}，x_n\ge 0$ （或 $x_n\le 0$），则 $A\ge 0$ （或 $A\le 0$）

　　　　２）（函数）设 $\underset{n\to x_0}{lim}=A$

　　　　　（１）如果 $A>0$ $(\mathrm{或}A<0)$，则存在 $\delta >0,\mathrm{当}x\in U(x_0,\delta )\mathrm{时}，f(x)>0$ （或 $f(x)<0$）


　　　　　（２）如果存在 $\delta >0$ ，当 $x\in U(x_0,\delta )\mathrm{时}，f(x)\ge 0$ （或 $f(x)\le 0$），则 $A\ge 0$ （或 $A\le 0$）

3. 极限值与无穷小之间的关系

　　　　　　$limf(x)=A\iff f(x)=A+\alpha (x)$　　　　其中 $lim\alpha (x)=0$

极限存在准则

1. 夹逼准则

　　　　若存在$N，\mathrm{当}n>N\mathrm{时}，x_n\le y_n\le z_n，\mathrm{且}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_n=a，\mathrm{则}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=a$

2. 单调有界准则

　　　　（1） 单调有界数列必有极限；

　　　　（2） 单调增、有上界的数列必有极限；

　　　　（3） 单调减、有下界的数列必有极限；

无穷小量

1. 无穷小量的概念

　　　　若函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的j极限为零，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷小量

2. 无穷小量的比较

　　　　（1）高阶：若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0;$记为 $\alpha (x)=o(\beta (x));$

　　　　（2）低阶：若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\mathrm{\infty };$

　　　　（3）同阶：若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=C\ne 0;$

　　　　（4）等价：若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1;$ 记为 $\alpha (x)\sim o(\beta (x));$

　　　　（5）无穷小的阶：若 $lim\frac{\alpha (x)}{[\beta (x){]}^k}=C\ne 0;$ 称 $\alpha (x)\mathrm{是}\beta (x)\mathrm{的}k$ $\mathrm{阶}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小};$

3. 无穷小量的性质

　　　　（1）有限个无穷小的和仍是无穷小

　　　　（2）有限个无穷小的积仍是无穷小

　　　　（3）无穷小量与有界变量的积仍是无穷小

无穷大量

1. 无穷大量的概念

　　　　若函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时趋向于无穷，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷大量

2. 常用的一些无穷大量的比较

　　　　（1）当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时

　　　　　　$l{n}^{\alpha }x\ll x^{\beta }\ll a^x$，其中 $\alpha >0,\beta >0,a>1$

　　　　（2）当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时（常对幂指阶）

　　　　　　$l{n}^{\alpha }n\ll n^{\beta }\ll a^n\ll n!\ll n^n$，其中 $\alpha >0,\beta >0,a>1$

3. 无穷大量的性质

　　　　（1）两个无穷大量的积仍为无穷大量

　　　　（2）无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量

4. 无穷大量与无界变量的关系

　　　　（1）数列 $\{x_n\}$ 是无穷大量

　　　　　　　$\mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }N>0，\mathrm{当}n>N\mathrm{时}，\mathrm{恒}\mathrm{有}|x_n|>M$


　　　　（2）数列 $\{x_n\}$ 是无界变量

　　　　　　　$\mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }N>0，\mathrm{使}|x_n|>M$

　　　　　　　无穷大量 $\Rightarrow$无界变量

5. 无穷大量与无穷小量的关系

　　　　在同一极限过程中，如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(X)}$ 是无穷小；反之，如果 $f(x)$ 是无穷小，且 $f(x)\ne 0$ ，则 $\frac{1}{f(X)}$ 是无穷大；