函数

函数概念及常见函数

1. 函数概念

　　　　定义　如果对于每个数 \(x\in D\)，变量 \(y\) 按照一定的法则总有一个 确定的 \(y\) 和它对应，则称 \(x\) 是 \(y\) 的函数，记为 \(y=f(x)\).常称 \(x\) 为自变量，\(y\) 为因变量，\(D\) 为定义域
　　　　
　　　　定义域　\(D_f=D\)

　　　　　值域 　\(R_f=f(D)=\{y\mid y=f(x),x\in D\}\)

　　　　设 \(x\) 为任意实数，不超过 \(x\) 的最大整数称为 \(x\) 的整数部分，记为 \([x]\). 函数 \(y=[x]\) 称为取整函数

2. 复合函数

　　　　定义　设 \(y=f(u)\) 的定义域为 \(D_f\)，\(u=g(x)\) 的 值域 为 \(R_g\)，若 \(D_f\cap R_g \ne \varnothing\)，则称函数 \(y=f[g(x)]\) 为函数 \(y=f(u)\) 与 \(u=g(x)\) 的复合函数。它的定义域为 \(\{x\mid x\in D_g, g(x)\in D_f\}\)

3. 反函数

　　　　定义　设函数 \(y=f(x)\) 的定义域为 \(D\)，值域为 \(R_g\)。若对任意 \(y\in R_y\)，有唯一确定 的 \(x \in D\)，使得 \(y=f(x)\)，则记为 \(x=f^{-1}(y)\) 称其为函数 \(y=f(x)\) 的反函数

　　　　【注】　1）不是每个函数都有反函数 　
　　　　　　　　2）单调函数一定有反函数，反之则不然

4. 初等函数

　　　　定义　将幂函数，指数，对数，三角，反三角统称为基本初等函数。由常数 和基本初等函数 经过有限次 的加、减、乘、除和复合所得到的且能用一个解析式表达 的函数，称为初等函数

函数的基本性质

1. 单调性

2. 奇偶性

　　　　【注】奇　\(sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln{1-x\over 1+x},ln(x+\sqrt{1+x^2}),{e^x-1\over e^x +1},f(x)-f(-x)\)
　　　　　　　偶　\(x^2,|x|,cosx,f(x)+f(-x)\)

3. 周期性

4. 有界性

　　　　【注】常见的有界函数

　　　　　　　\(|sinx|\le 1;|cosx|\le 1;|arcsinx|\le {\pi \over 2};|arccos|\le \pi\)