《算法导论》CLRS算法C++实现（十一）P163 红黑树

第十三章 红黑树

首先说一下本章有一个地方的图有误，P168页的图，正确的图如下（case3有误，中文版）：

 

在Linux内核和STL中，都大量使用了红黑树这种数据结构，原因是红黑树的搜索、插入和删除效率都很高。

红黑树是一种二叉查找树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是RED（红色）或BLACK（黑色）。

一棵红黑树有如下性质： 

（1）每个结点要么是红的，要么是黑的。
（2）根结点是黑的。
（3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。
（4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
（5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

树中每个结点有五个域：color，key，left，right和p。一棵有n个内结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)。

红黑树的操作：

1、旋转

当在红黑树上进行插入或删除操作时，树的红黑性质将被破坏。为了保持这些性质，就要改变树中某些结点的颜色及指针的结构。其中指针结构的修改是通过旋转来完成的。旋转是一种能保持持树中结点的中缀次序的局部操作。下图是两种旋转方法，左旋和右旋。

2、插入

情况1：如下图所示，X为新插入的结点，将其涂为红色。P为X的父结点，也为红色。G是X的祖父结点，S是X的叔父结点，它们都为黑色。这时X、P和G成一直线排列，此种情况的处理方式比较简单，只要采用一个单旋转操作，并进行适当的颜色调整即可。首先进行一个右单旋转，然后修改G的颜色。

情况2：如下图所示，X为新插入的结点，将其涂为红色。P为X的父结点，也为红色。G是X的祖父结点，S是X的叔父结点，它们都为黑色。这是X、P和G成一折线排列，此种情况的处理方式是采用一个双旋转操作，并进行适当的颜色调整即可。首先进行一个先左后右的双旋转，旋转过程中修改X和G的颜色。

情况3：情况1和情况2都相对简单，但是如果新插入结点X的叔父结点S为红色，有可能无论如何旋转总是会出现“红-红结点”的情况。这时采用逐层上升的调整和着色。

如下图所示的情况，仍然比较简单，一个右单旋转就解决了问题。

 

 下图所示的情况则复杂一些。图a为插入结点16的过程。因为16及其父结点17都是红的，帮违反了性质3。又因为16的叔父结点22也是红的，则属于情况3。各结点被重新着色，指针沿树上升，所得的树如下图b所示。如此，结点21及其父亲结点又都为红色，但结点21的叔父结点30是黑的。由于21是15的右孩子，故可应用情况2进行处理，在执行一次左旋转后，所得结果树如图c。执行一次右旋后得图d中的树。它是一棵合法的红黑树，插入操作完成。