算法导论笔记——第十七章 摊还分析

17.1 聚合分析

用来确定一个n个操作的序列的总代价的上界T(n).

• 由n个push，pop，multi-pop组成的操作序列。依赖于push
• 二进制计数器递增

　　　　A[0]每次都翻转，A[1]每两次翻转一次，A[2]每两次翻转一次...

17.2 核算法

　　较早操作的余额（overcharge）作为预付信用（prepaid credit）储存起来，与数据结构中的特定对象相关联。对应后续操作中摊还代价小于实际代价的情况，信用可以用来支付差额。

17.3 势能法

势能法摊还分析并不将预付代价表示为数据结构中特定对象的信用，而是表示为“势能”，或简称“势”，将势能释放即可用来支付未来操作的代价。我们将势能与整个数据结构而不是特定对象相关联。

工作方式如下：

我们将对一个初始数据结构D₀执行n个操作。对每个i=1，2，。。。，n，令c_i为第i个操作的实际代价，令D_i为在数据结构D_i-1上执行第i个操作得到的的结果数据结构。势函数Φ将每个数据结构D_i映射到一个实数Φ（D_i），此值即为关联到数据结构D_i的势。第i个操作的摊还代价c‘_i用势函数Φ定义为

c‘_i=c_i+Φ（D_i）-Φ（D_i-1）

总摊还代价为

    

栈操作：可定义栈的势为栈中的对象数量。

二进制计数器：可定义计数器的势为其中1的位数。

17.4 动态表

17.4.1 表扩张

17.4.2 表扩张和收缩

总之，由于每个操作的摊还代价的上界是一个常数，在一个动态表上执行任意n个操作的实际运行时间是O(n)。