二分图最大独立集（最大团）

最大独立集的定义

二分图的最大独立集是：一个最大的点的集合，该集合内的任意两点没有边相连。

二分图最大团的定义是：一个最大的点的集合，该集合内的任意两点都有边相连。

从定义可以看出"二分图的最大独立集"和"二分图补图的最大团"是一样的。

 

最大独立集的求法

二分图的最大独立集 = 二分图顶点数 - 二分图最大匹配数。

设二分图的顶点数为n，最大匹配数是v。

二分图的最大独立集 = n - v。

(1)把二分图的最大匹配从原图中去掉，剩下的n - 2 * v个顶点肯定是没有边相连的，如果还有边相连那还叫二分图最大匹配吗。此时的n - 2 * v个顶点就是一个独立集，但不是最大的。

(2)从每条匹配边的两端取一个结点加入独立集中，可以使得独立集仍然是独立集，所以此时独立集的顶点数是n - v。为什么可以从每条匹配边的两端各取一个点加入独立集中呢？因为①要么{x}到y4有一条边，要么②{y}到x4有一条边，③要么{x}到y4没有边且{y}到x4也没有边。不可能出现下图这种情况，④{x}到y4有边且{y}到x4也有边，那么这就是一条增广路了，与原先求出的最大匹配相矛盾，所以不可能出现下图的情况。

综上所述，只会发生①②③这三种情况，所以我们一定可以从每条匹配边的两端取一个结点加入到独立集中。

 

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