主席树（可持久化线段树） 静态第k大
可持久化数据结构是保存数据结构修改的每一个历史版本，新版本与旧版本相比，修改了某个区域，但是大多数的区域是没有改变的，
所以可以将新版本相对于旧版本未修改的区域指向旧版本的该区域，这样就节省了大量的空间，使得可持久化数据结构的实现成为了可能。
如下图，就是可持久化链表
插入前
插入后
尽可能利用历史版本和当前版本的相同区域来减少空间的开销。
而主席树（可持久化线段树）的原理同样是这样。
有n个数字， 我们将其离散化，那么总有[1,n]个值，如果建一棵线段树，每个结点维护子树中插入的值的个数。 求总区间第k大
那么如果k>=左子树中值的个数，那么就去左子树中找， 否则就去右子树中找第（k-左子树值的个数）大值。
如果要求区间[l,r]第k大，那么就要维护n棵线段树
每棵线段树维护的都是[1,n]值出现的个数， 所以每棵线段树的形态结构是相同的
第i棵线段树的根为T[i] ， 维护的是前i个数字离散化后出现的次数。
那么主席树有两个性质
线段树的每个结点，保存的都是这个区间含有的数字的个数
主席树的每个结点，也就是每棵线段树的大小和形态是一样的，也就是主席树的每个结点（线段树与线段树之间）是可以相互进行加减运算的
假设要求区间[l,r]的第k大, T[r]左子树值的个数 - T[l-1]左子树值的个数大于>=k , 那么就说明 区间[l,r]的数离散化后有大于n个数插入了左子树，
所以应该去左子树去找第k个大， 反之，去右子树找 第(k- (T[r]左子树值的个数 - T[l-1]左子树值的个数) )大。
至于主席树的构建， 第T[i+1]棵树相比第T[i]棵树，多插入了一个数字， 也就相当于修改了一条链。
如果第a[i+1]个数插入了T[i+1]的左子树， 那么T[i+1]的右子树和T[i]的右子树是一样的， 所以可以直接指向T[i]的右子树， 然后子树的构造也是这个道理。
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <iostream> #include <algorithm> #include <vector> #include <queue> #include <set> #include <map> #include <string> #include <math.h> #include <stdlib.h> #include <time.h> using namespace std; /* 可持久化线段树，函数式线段树，主席树 动态第k大 线段树维护的是值出现的次数 */ const int N = 1000010; int a[N], t[N]; //T[i] 保存第i棵线段树的根 int T[N], lson[N * 30], rson[N * 30], c[N * 30]; int n, m, q, tot; int build(int l, int r) { int root = tot++; c[root] = 0; if (l != r) { int mid = (l + r) >> 1; lson[root] = build(l, mid); rson[root] = build(mid + 1, r); } return root; } //root是第i棵线段树的根， 现在构造第i+1棵树， pos是a[i+1]所要插入的位置 int update(int root, int pos) { int newRoot = tot++, tmp = newRoot; int l = 1, r = m; c[newRoot] = c[root] + 1; while (l < r) { int mid = (l + r) >> 1; if (pos <= mid)//要插入的位置位于左子树， 要么右子树可以指向第i棵线段树的右子树 { r = mid; lson[newRoot] = tot++; rson[newRoot] = rson[root]; newRoot = lson[newRoot];//继续构造左子树 root = lson[root]; } else { l = mid + 1; lson[newRoot] = lson[root]; rson[newRoot] = tot++; newRoot = rson[newRoot]; root = rson[root]; } c[newRoot] = c[root] + 1;//该子树保存的值的个数+1 } return tmp; } int hs(int x) { return lower_bound(t + 1, t + m + 1, x) - t; } int query(int leftroot, int rightroot, int k) { int l = 1, r = m; while (l < r) { int mid = (l + r) >> 1; if (c[lson[rightroot]] - c[lson[leftroot]] >= k) { r = mid; rightroot = lson[rightroot]; leftroot = lson[leftroot]; } else { l = mid + 1; k -= c[lson[rightroot]] - c[lson[leftroot]]; rightroot = rson[rightroot]; leftroot = rson[leftroot]; } } return l; } int main() { while (scanf("%d%d", &n, &q) != EOF) { tot = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%d", &a[i]); t[i] = a[i]; } sort(t + 1, t + n + 1); m = unique(t + 1, t + n + 1) - t - 1; T[0] = build(1, m); for (int i = 1; i <= n; ++i) { int pos = hs(a[i]); //第i棵线段树由第i-1棵线段树修改而来 T[i] = update(T[i - 1], pos); } while (q--) { int l, r, k; scanf("%d%d%d", &l, &r, &k); printf("%d\n", t[query(T[l - 1], T[r], k)]); } } return 0; }
