费马小定理与欧拉公式
如果p是素数,且a%p!=0, 那么
证明:
因为gcd(p,a)=1, 所以 lcm(p,a) = p*a
设 1<=ri < p, 那么ri * a mod p 的余数各不相同,且从1->p-1
根据模的性质,如果,则
所以
因为两边除去(p-1)!得
所以成立
根据这个,我们可以判断一个数不是素数。 如果不满足这个,那么就不是素数
但是不能用这个来判断一个数是不是素数,因为有不是素数的数满足这个等式。
欧拉公式, 如果gcd(a,m)==1, 则
是欧拉函数,表示小于等于m且与m互质的数字
费马小定理是欧拉函数的特殊情况,因为如果m是素数,那么=m-1
我们想象 费马小定理是怎么证明的, 它用到了一个性质,如果
所以我们可以这样子,设,bi代表第i个与m互素的数,
那么数列与数列相同,尽管他们的次序可能不同
证明:
因为 所以,
所以数列同余于数列中的某个数
且数列的余数各不相同, 这个可参见费马小定理的证明。
所以证明得 数列与数列相同,尽管他们的次序可能不同
所以