【XR-4】题 题解

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说一个不一样的方法，来自Mr_Wu

由 \(y^{2}-x^{2}=ax+b(a,b,x,y\in\N)\),

变形可得\(x^{2}+ax+b=y^{2}\).

显然，\(x^{2}+ax+b\)是完全平方数

此时构造式子\(x^{2}+2px+p^{2}(p\in\N)\)，使得\(p\)是满足\(2p\le a\)且\(p^{2}\le b\)的数中最大的。

显然，\(\forall x\in\N,x^{2}+2px+p^{2}\le x^{2}+ax+b\).

同理，构造式子\(x^{2}+2qx+q^{2}(q\in\N)\)，使得\(q\)是满足\(2q\ge a\)且\(q^{2}\ge b\)的数中最小的。

显然，\(\forall x\in\N,x^{2}+2qx+q^{2}\ge x^{2}+ax+b\).

设\(y^2=(x+r)^2\)，即\(x^{2}+ax+b=(x+r)^2\)

\(\because\) \((x+p)^2\le(x+r)^2\le(x+q)^2\)

\(\therefore p\le r\le q\)

此时\(x=\frac{r^2-b}{a-2r}\)

又因为\(x\)为整数，所以只需要解出所有\(r\)对应的\(x\)，判断其是否是整数，如果是，就是合法解。

值得注意的是，如果\(x^{2}+ax+b\)是完全平方式，输出inf即可。