图论学习笔记
我的博客搬到这里了，以后博客园就不怎么用了
图论学习笔记
最近本蒟蒻在复习图论，发现自己已经基本把图论给忘了，所以就打算写这样一篇学习笔记，用来复习。
一、图的表示
1.邻接矩阵
用一个二维数组存边，\(map[i][j]=k\)表示点\(i\)到点\(j\)权值为\(k\)。添边、查边复杂度都是\(O(1)\)，访问与所有一个点连接的点的复杂度为\(O(v)\)，占用空间较大，适合稠密图。
模板：
int G[5000][5000], u, v, k, n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < m; ++i) {
scanf("%d%d%d", &u, &v, &k);
G[u][v] = k;
}
2.邻接表
用\(n\)个数组存储每个节点发出的边，占用空间较小，适合稀疏图。
模板（vector方法）：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Node {
int v, k;
};
vector<Node> head[5000];
int main() {
int n, m, u, v, k;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < m; ++i) {
scanf("%d%d%d", &u, &v, &k);
head[u].push_back((Node) {v, k});
}
return 0;
}
二、拓扑排序
三、最小生成树
1.定义
一个无向连通图的最小生成树是该图的一个子图，且是一棵树，包含图中的所有顶点，且边权和最小。
2.Prim算法
设一个点集\(Q\)中仅包含初始节点（可以是任意节点），寻找一条边\((u,v)\)，满足点\(u\)在集合\(Q\)中，点\(v\)不在集合\(Q\)中，且边权是所有这样的边中最小的，则这条边是最小生成树中的一条边，将点\(v\)也加入集合\(Q\)中，重复这样的操作，直到集合\(Q\)中包含所有的节点。那么找到的所有的边的集合就是这个图的最小生成树。Prim算法主要利用了贪心的思路。
形象地说，就是在图上选一个点，然后在这个点的周围画一个圈。（如图）
然后在和圈相交的边里面选一条权值最小的（在图中即5与6之间的边），再把这个权值最小的边指向的节点也围到圈里。（如图）
然后再找与圈相交的边权最小的边，并把指向的节点圈到圈里面，以此类推，直到圈里包含了所有的节点，那么所有选过的边就是这棵树的最小生成树。
模板：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 1e9;
struct Node {
int v, k;
};
vector <Node> head[200002];
int q[200002], n, m, tot = 0; //q[i]表示点i是否在点集q中
priority_queue<pair<int, int> > p; //堆优化,记录节点i与点集q中一点相连的最短的边的权值
void Prim(int root) {
p.push(make_pair(0, root));
memset(q, 0, sizeof(q));
int u, v, k;
while (!p.empty()) {
k = p.top().first, u = p.top().second;
p.pop();
if (q[u]) {
continue;
}//节点u已经在集合q中，直接跳过
tot += k;
q[u] = 1;
for (int j = 0; j < (signed)head[u].size(); ++j) {
v = head[u][j].v, k = head[u][j].k;
if (!q[v]) {
p.push(make_pair(k, v));
}
}//更新p数组
}
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
int x, y, z;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
head[x].push_back((Node) {y, -z});
head[y].push_back((Node) {x, -z});
//由于优先队列是大根堆，就把边权取反，即可变成小根堆
}
Prim(1);
printf("%d\n", -tot);
return 0;
}
3.Kruskal算法
首先将所有的节点放入不同的点集中，每个点集中只有一个节点。然后进行遍历，寻找一条边\((u,v)\)，满足节点\(u\)与节点\(v\)不在同一个集合中，且是满足这个条件的边中权值最小的。那么这条边就是最小生成树中的一条边。将节点\(u\)与节点\(v\)所在的集合合并，再进行查找边与合并集合的操作，直到所有的点都在同一个集合中，那么找到的所有的边的集合就是这个图的最小生成树。
Kruskal算法可以利用并查集实现。
形象地说，就是在图中所有的节点周围都画一个圈（如图）：
再在不被包含在一个圈里的的边（即与两个圈有交点的边）找到权值最小的边（在图中即5到6的边），把这两个圈合并。（如图）
然后重复这样的操作，直到所有的节点都在一个圈里，那么所有选过的边就是这棵树的最小生成树。
模板：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 1e9;
int n, m, pre[200001], tot = 0, k = 0;
struct Node {
int u, v, k;
};
vector<Node> edge;//edge数组存边
//----------------------------------------并查集
inline int find(int x) {
int y = x, j;
while (x != pre[x])
x = pre[x];
while (y != x) {
j = pre[y];
pre[y] = x;
y = j;
}
return x;
}
inline void join(int x, int y) {
int pre_x = find(x), pre_y = find(y);
if (pre_x != pre_y) {
pre[pre_x] = pre_y;
}
}
//----------------------------------------并查集
bool cmp(Node x, Node y) {
return x.k < y.k;
}
void Kruskal() {
sort(edge.begin(), edge.end(), cmp); //将边按权值从小到大排序
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (cnt == n - 1) {
return;
}//边够了
int u = edge[i].u, v = edge[i].v, k = edge[i].k;
if (find(u) != find(v)) { //如果这条边可以选
join(u, v);
cnt++;
tot += k;
}
}
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
int x, y, z;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
edge.push_back((Node) {x, y, z});
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
pre[i] = i;
}//并查集初始化
Kruskal();
printf("%d\n", tot);
return 0;
}
4.Prim算法与Kruskal算法的区别
| 算法 | Prim | Kruskal |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | \(O(v*log(v))\) | \(O(e*log(e))\) |
| 适用范围 | 稠密图 | 稀疏图 |
| 注：\(v\)为点数，\(e\)为边数。 | ||
| Prim算法需要通过堆优化后复杂度才能达到\(O(v*log(v))\)。 |
四、最短路
1.定义
最短路问题（short-path problem）是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。基本内容是：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。——百度百科
说人话就是在选一条连接两个点的路径，使这条路权值和最小。
2.Dijkstra算法
Dijkstra算法是一个求单源最短路径的算法，只适用于没有负权边的图。Dijkstra算法与Prim算法有些类似，都是设一个点集\(Q\)，最初只有一个节点，然后不断地添点，直到全部添加。
设点集\(Q\)，最初只包含起点\(u\)。设\(dis[i]\)为目前找到的\(u\)点到编号为\(i\)的节点的最短路径，所有\(dis[i]\)初始化为INF，\(dis[u]\)初始化为\(0\)。首先寻找不在点集中且\(dis\)值最小的点\(x\)，将点\(x\)加入\(Q\)中，并进行松弛操作，即对于所有从\(x\)点出发的边\((x,y)\)，\(dis[y]=min(dis[y],dis[x]+w(x,y))\).然后再进行找点，加点与松弛的操作，直到所有点都被加入\(Q\)中为止。那么最短路就求出来了。
原理是由于图中没有负边，所以如果\(dis[i]\)为图中最小的，那么它就不可能再被更新，所以就可以被确定，即被加入点集\(Q\)中。
如果需要记录路径，那么就建立一个\(father[n]\)数组，\(father[i]\)表示\(i\)节点的上一个节点。每次进行松弛操作时，如果\(dis[i]>dis[j]+w(i,j)\)，那么就将\(father[i]\)赋值为\(j\)即可。
与Prim算法相似，Dijkstra算法也可以在找\(dis\)值最大的节点时利用堆进行优化。
模板：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 1e9;
struct Edge {
int v, k;
};
vector<Edge> head[100001];
int dis[100001], q[100001];
struct Node {
int dis, u; //u:节点编号 dis:dis值
bool operator<(const Node& a) const { //运算符重载，以使用STL优先队列
return dis > a.dis;
}
};
int n, m;
void Dijkstra(int s) {
priority_queue<Node> que;//堆优化
bool vis[100001] = {0}; //是否被访问过
memset(dis, 0, sizeof(dis));
dis[s] = 0;
que.push((Node) {0, s});
while (!que.empty()) {
int u = que.top().u;
que.pop();
if (vis[u]) { //如果已经被访问过了，那么这个节点的dis值就是在松弛操作之前的dis值了，直接删除即可。
//由于松弛后的dis值一定小于松弛前的dis值，所以不用担心出错。
continue;
}
vis[u] = 1;
q[u] = 1;
for (int i = 0; i < (signed)head[u].size(); i++) {
int v = head[u][i].v, k = head[u][i].k;
if (!q[v] && dis[v] > dis[u] + k) { //松弛操作
dis[v] = dis[u] + k;
que.push((Node) {dis[v], v});
}
}
}
}
int main() {
int u, v, k, s;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
for (int i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d%d%d", &u, &v, &k);
head[u].push_back((Edge) {v, k});
}
Dijkstra(s);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
printf("%d ", dis[i]);
}
return 0;
}
3.Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法可以求有负权边的图的单源最短路径。算法是对\(dis\)数组进行\(n- 1\)（n 为节点个数）轮松弛操作。
原理是最短路一定经过\(n-1\)个节点（起点不算），即有\(n-1\)个\(dis\)值需要更新。每更新一个节点的\(dis\)值，其他的节点也可能会受到影响。故进行\(n-1\)轮松弛操作后可以保证求出最短路。
模板：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 1e9;
struct Node {
int u, v, k;
};
vector <Node> edge;
int dis[100001];
int n, m;
void Bellman_Ford(int s) {
memset(dis, 0, sizeof(dis));
dis[s] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
int u = edge[j].u, v = edge[j].v, k = edge[j].k; //遍历每一条边，进行松弛
if (dis[v] > dis[u] + k) {
dis[v] = dis[u] + k;
}
}
}
}
int main() {
int u, v, k, s;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
for (int i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d%d%d", &u, &v, &k);
edge.push_back((Node) {u, v, k}); //edge数组存边
}
Bellman_Ford(s);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
printf("%d ", dis[i]);
}
return 0;
}
另外值得一提的是Bellman-Ford算法还可以判断图中是否存在负环（即权值和为负的环），只需要在进行n-1次操作后再进行一轮松弛操作，如果还有节点的\(dis\)值被更新，说明图中存在负环。
4.SPFA算法
它不是死了吗
Shortest Path Fast Algorithm 算法是Bellman-Ford算法的队列优化版本。
我们可以发现，如果一个点的\(dis\)值更新了 ，那么与这个节点相邻的节点的\(dis\)值都可能会受到影响。所以我们可以建一个队列，存放等待更新的节点，并每次对队首的节点进行松弛操作并把所有与队首相连的节点入队，并把队首pop出去，重复进行这样的操作，直到队列为空。
模板：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 10e9;
int n, m, dis[100001];
struct Node {
int v, k;
};
vector<Node>head[100001];
void SPFA(int s) {
bool vis[100001];//vis数组记录是否在队列中
queue<int> que;
que.push(s);
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dis[i] = INF;
vis[i] = 0;
}
vis[s] = 1;
dis[s] = 0;
while (!que.empty()) {
int num = que.front();
que.pop();
vis[num] = 0;
for (int i = 0; i < head[num].size(); i++) { //对队首进行松弛操作
if (dis[head[num][i].v] > dis[num] + head[num][i].k) {
dis[head[num][i].v] = dis[num] + head[num][i].k;
if (!vis[head[num][i].v]) { //如果队首更新，就把与队首相邻的节点入队
que.push(head[num][i].v);
vis[head[num][i].v] = 1;
}
}
}
}
}
int main() {
int s, x, y, z;
Node a;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
head[x].push_back((Node) {y, z});
}
SPFA(s);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
printf("%d ", dis[i]);
}
return 0;
}
5.Floyd-Warshall算法
Floyed-Warshall算法可以求出多源最短路径，即求出任意两点之间的最短路径。Floyd-Warshall算法的本质是动态规划。设\(dis_{k}[i][j]\)表示节点\(i\)和节点\(j\)之间的一条仅经过编号最大不超过\(k\)的节点最短路径的长度，那么显然\(dis_{0}[i][j]=w(i,j)\)，因为\(k\)=0，所以路径中不能经过其他节点。
那么如何从\(dis_{k-1}[i][j]\)推出\(dis_{k}[i][j]\)呢？我们需要分两种情况：
- \(dis_{k}[i][j]\)是一条不经过\(k\)节点的路径的长度，那么\(dis_{k}[i][j]=dis_{k-1}[i][j]\).
- \(dis_{k}[i][j]\)是一条经过\(i\)节点的路径的长度，那么\(dis_{k}[i][j]=dis_{k-1}[i][k]+dis_{i-1}[k][j]\) (将这条路径分为两部分)
由此我们可以得到状态转移方程：
\(dis_{k}[i][j]=max(dis_{k-1}[i][j],dis_{k-1}[i][k]+dis_{k-1}[k][j])\)
模板：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 1e9;
int n, dis[1001][1001];
void Floyd_Warshall() {
for (int k = 1; k <= n; k++) { //循环k的值
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (dis[i][k] != INF && dis[k][j] != INF && dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]) { //状态转移
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
}
}
}
}
}
int main() {
scanf("%d", &n);
int x, y, z;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
scanf("%d", &dis[i][j]);
if (dis[i][j] == -1) {
dis[i][j] = INF;
}
}
}//邻接矩阵存图
Floyd_Warshall();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (dis[i][j] == INF)
printf("-1 ");
else
printf("%d ", dis[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
