福慧双修(both)

题目描述:

菩萨为行，福慧双修，智人得果，不忘其本。
——唐·慧立《大慈恩寺三藏法师传》
有才而知进退，福慧双修，这才难得。
——乌雅氏
如何福慧双修？被太后教导的甄嬛徘徊在御花园当中。突然，她发现御花园中的花朵全都是红色和蓝色的。她冥冥之中得到了响应：这就是指导她如何福慧双修的！现在御花园可以看作是有N块区域，M条小路，两块区域之间可通过小路连接起来。现在甄嬛站在1号区域，而她需要在御花园中绕一绕，且至少经过1个非1号区域的区域。但是恰好1号区域离碎玉轩最近，因此她最后还是要回到1号区域。由于太后教导她要福慧双修，因此，甄嬛不能走过任何一条她曾经走过的路。但是，御花园中来往的奴才们太多了，而且奴才们前行的方向也不一样，因此甄嬛在走某条小路的时候，方向不同所花的时间不一定一样。天色快暗了，甄嬛需要尽快知道至少需要花多少时间才能学会如何福慧双修。如果甄嬛无法达到目的，输出“-1”。

输入格式:

第一行仅2个正整数n,m，意义如题。
接下来m行每行4个正整数s,t,v,w，其中s,t为小路所连接的两个区域的编号，v为甄嬛从s到t所需的时间，w为甄嬛从t到s所需的时间。数据保证无重边。

输出格式:

仅一行，为甄嬛回到1号区域所需的最短时间，若方案不存在，则输出-1

样例输入:

样例一
3 3
1 2 2 3
2 3 1 4
3 1 5 2
样例二
3 2
1 2 1 1
2 3 1 2

样例输出:

样例一
8
样例二
-1

数据范围:

对于40%的数据：n<=1,000; m<=5,000
对于100%的数据：1<=n<=40,000; 1<=m<=100,000; 1<=v,w<=1,000

时间限制:

1s

空间限制:

256M

solution

1.题意简述

从1号点出发0,经过一系列点后重新回到1点,求出最短的距离是多少,限制是每条边只能通过一次.

2.让我们先来一次sfpa

首先让我们跑一遍spfa，求出每一个点到1的最短距离dis[i]，并设prev[i]表示这条路径上与1相连的点的标号。这样我们就可以通过这个prev 数组推测出一条边是否被使用过了.
根据prev数组的定义可以知道,只有直接与1相连的点的prev值为其本身,其他的点的prev 值 都等于其前驱节点的prev值.

3.建立新图

我们可以很清楚地知道,由于题目要求最后必须回到1号点,所以我们最好把1号点拆开成两个点,把新拆出的点记为n+1号点,,然后我们要把原图改一改(也就是建新图了).让我们枚举每条边,然后进行下列操作,

part 1:该边为x连向1，边权为value。

（1）当prev[x]!=x说明从1到x的最短路并没有经过这条边，所以这条边的可以被使用的,那么让我们在新图中建立一条从起点1到终点n+1的边，边权为value+dis[x]
（2）当prev[x]==x说明从1到x的最短路是使用了这条边的,所以在新图中建立该边的时候,边的权值不可以带上dis[x]，那么让我们在新图中建立从x到终点n+1的边，边权为value.

Part2:该边为从1连向x，边权为value

（1）当prev[x]=x,说明从1到x的最短路使用了这条边,所以我们可以不建这条边.
（2）当prev[x]!=x,说明原点到达x的最短路径不是这条边，所以我们可以在新图中建立从1到x的边，边权为value.

Part3:该边的起点和终点均不为1.

（1）当prev[u]!=prev[v],说明原点到达两端点的最短路径是不同的,也就是说u到v的最短路径并不是通过这条边,这条可以填在新图中，所以我们可以在新图中建立一条从1到v,边权为dis[u]+value.
（2）当prev[u]==prev[v],在新图中保留原边。

得出答案

在新图中跑一次1到n+1的spfa,然后输出dis[n+1]即可.

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 200050;
const int inf = 1000000000;
int toit[maxn],next[maxn],len[maxn],listt[maxn],n,m,cnt = 0,dis[maxn],qq[maxn*10],inqueue[maxn],prev[maxn];
int toit2[maxn],next2[maxn],listt2[maxn],len2[maxn];
inline void add(int u,int v,int w){ toit[++cnt] = v; next[cnt] = listt[u]; listt[u] = cnt; len[cnt] = w; }
inline void addnew(int u,int v,int w){ toit2[++cnt] = v; next2[cnt] = listt2[u]; listt2[u] = cnt; len2[cnt] =w; }
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1; i<=m; ++i){
        int u,v,w1,w2;  scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&w1,&w2);
        add(u,v,w1); add(v,u,w2);
    }
    for (int i=1; i<=n; ++i) dis[i] = inf; dis[1] = 0;
    int head = 0 , tail = 1 ; qq[1] = 1; inqueue[1] = 1;
    while (head<tail){
        int x = qq[++head];
        for (int w = listt[x]; w ; w = next[w]){
            int v = toit[w] , cost = len[w]; if (dis[v]<=dis[x]+cost) continue;
            dis[v] = dis[x] + cost; if (x==1) prev[v] = v; else prev[v] = prev[x]; 
            if (inqueue[v]) continue;
            inqueue[v] = 1; qq[++tail] = v;
        }
        inqueue[x] = 0;
    }
    cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        int u = i;
        for (int w = listt[u]; w ; w = next[w]){
            int v = toit[w];
            if (v==1){
                if (prev[u]==u) addnew(u,n+1,len[w]); else addnew(1,n+1,dis[u]+len[w]); 
            }
            else if (u==1){
                if (prev[v]==v) continue; addnew(1,v,len[w]);
            }
            else {
                if (prev[v]==prev[u]) addnew(u,v,len[w]); else addnew(1,v,dis[u]+len[w]);
            }
        }
    }
    for (int i=1; i<=n+1; ++i) dis[i] = inf; dis[1] = 0;
    head = 0 ; tail = 1 ; qq[1] = 1; inqueue[1] = 1;
    while (head<tail){
        int x = qq[++head];
        for (int w = listt2[x]; w ; w = next2[w]){
            int v = toit2[w] , cost = len2[w]; if (dis[v]<=dis[x]+cost) continue;
            dis[v] = dis[x] + cost;
            if (inqueue[v]) continue;   inqueue[v] = 1; qq[++tail] = v;
        }
        inqueue[x] = 0;
    }  
    if (dis[n+1]==inf) printf("-1\n"); else printf("%d\n",dis[n+1]);   
    return 0;
}

---