点分治笔记

我们常用数据结构处理一些序列上的问题。这些问题的形式一般是给定序列的两个位置L和R，在区间[L,R]上执行查询和修改指令。如果给定的是一棵树，要求查询树上两个节点x和y路径的答案。点分治可以在一棵树上，对具有某些限定条件的路径静态地进行统计  

【例题】 Tree （Poj 1741）

　　　　给定一棵有N个点的树，每条边都有一个权值。树上两个节点x与y之间的路径长度就是路径上各条边的权值之和。求长度不超过K的路径由多少条。

　　

 　　　本题树中的边是无向边，我们称之为无根树。也就是说，我们可以任意指定一个节点为根节点，而不影响问题的答案。

　　　若我们指定节点p为根，则对p而言，树上的路径可以分为两类：

　　　　1.  经过根节点p

　　　　2. 包含于p的某一颗子树中。

　　 　根据点分治的思想， 对于第2类路径，显然可以把p的每颗子树作为子问题，递归进行处理。

　　　而对于第一类路径，可以从根节点p分成“x~p”与“p~y”两段。

　　我们可以从p出发，对整棵树进行DFS，求出数组d，其中d[x]表示点x 到根节点p 的距离。 同时还可以求出数组b， 其中b【x】表示点x属于根节点p的那一颗子树，特别地，令b[p] = p。

　　那么此时满足题目要求的第一类路径就是满足一下两个条件的点对（x，y）的个数：

　　　　1.  b[x] != b[y]

　　　　2. d[x] + d[y] <= k

　　我们定义Calc（p）表示在以p为根的树中统计上述点对的个数（第一类路径的条数）。Calc (p)有两种常见的实现方式。 针对不同题目，二者各有优劣。

　　方法一: 树上直接统计

　　设p的子树为S1, S2, ..., Sm

　　对于Si中的每个节点x， 把在子树S1, S2, ... Si-1 中的满足d[x] + d[y] <= k 的节点 y 的个数 直接累加到答案中即可。

　　具体来说，可以建立一个树状数组，依次处理每一个子树Si。

　　　　1. 对于Si中的每个节点x， 查询前缀和 ask(k - d[x]) ，即为所求的y的个数。

　　　　2. 对于Si中的每个节点x，执行add（d[x], 1），表示与p距离为d[x]的节点增加了一个。

　　按子树一颗一颗进行处理保证了b[x] != b[y]， 查询前缀和保证了d[x] + d[y] <= k.

　　需要注意的是，树状数组的范围和路径长度有关，这个范围远比N要大。而本题中不易进行离散化。一种解决方案是用平衡树代替树状数组。以保证O（NlogN）的复杂度，但是代码的复杂程度显著增加。所以本题更适合用下一种方法。

　　方法二： 指针扫描树状数组。