江城唱晚
江城唱晚
【题目背景】
墙角那株海棠，是你种下的思念。
生死不能忘，高烛照容颜。
一曲江城唱晚，重忆当年坐灯前，
青衫中绣着你留下的线。
——银临《江城唱晚》
【问题描述】
扶苏是个喜欢一边听古风歌一边写数学题的人，所以这道题其实是五三原题。
歌曲中的主人公看着墙边的海棠花，想起当年他其实和自己沿着墙边种了一排海
棠，但是如今都已枯萎，只剩下那一株，寄托着对他深深的思念。
沿着墙一共有$ n \(个位置可以种下海棠花，主人公记得自己当年和他一共种下了\) m
\(朵，由于花的特性，海棠不能紧挨着种植，也就是两朵海棠花之间最少间隔一个不种花 的空位置。但是她记不清当时海棠花具体是怎么摆放的了，所以她想知道一共有多少方 案使得\) m \(朵海棠花都被种下且两两之间不是相邻的。我们将这\) m $朵海棠花按照
$1,2,3…m \(的顺序编号，两个种花的方案不同当且仅当它们被种下的位置不同或者从左向 右数花的编号序列不同。 为了避免输出过大，答案对一个参数\) p $取模
【输入格式】
输入文件中有且仅有一组数据，只有一行四个数字，分别代表 \(type,n,m,p\)。其中
\(type\) 是一个帮助你判断测试点类型的参数，会在数据范围中说明。
【输出格式】
输出一行一个数字，代表答案对$ p $取模的结果。
【输入输出样例】
$1 3 2 19260718 $
\(2\)
【输入输出样例解释】
一共有两朵花，3 个位置。如果给花朵编号为 1,2，位置编号为 1,2,3，那么两种
方案分别如下：
位置$ 1 2 3$
方案\(1\) 花朵$1\space N/A $花朵\(2\)
方案\(2\) 花朵\(2\) $N/A $花朵\(1\)
【数据规模与约定】
| 子任务编号 | n\(\leq\) | m\(\leq\) | type= | 特殊性质 | 子任务分值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 特殊性质1 | 5 |
| 2 | 20 | 20 | 1 | 特殊性质1 | 15 |
| 3 | 400 | 200 | 2 | 无 | 20 |
| 4 | 2000 | 1000 | 3 | 无 | 20 |
| 5 | 2000000 | 1000000 | 4 | 特殊性质2 | 20 |
| 6 | 2000000 | 1000000 | 5 | 无 | 20 |
特殊性质\(1\)：保证对应测试点的实际方案数（在取模之前）不超过\(10^6\)。
特殊性质\(2\)：保证对应测试点的模数\(p\)是一个质数。定义整数\(x\)是一个质数当且仅当\(x\)有且只有\(1\)和\(x\)两个因数。
对于\(100\)%的数据，保证\(1\leq p\leq 10^9\)，\(1\leq m\leq \lceil \frac{n}{2} \rceil \leq 10^6\)，其中\(\lceil x \rceil\)为不小于\(x\)的最小整数。
【题解】
前言：\(zay\)神仙是把每一个子任务的方法都讲了一遍，这里主要讲\(60\)分的版本（\(DP\)）和\(100\)分的版本（组合数学）
\(60\)分思路：
首先设\(f_{i,j}\)表示前\(i\)朵花按顺序种下，第\(i\)朵花种在第\(j\)个位置上的方案数。于是有\(\sum_{k=1}^{j-2}{f_{i,k}}\)，但是没有考虑花的序号，所以要再乘上\(n!\)。时间复杂度为\(O(n^2m)\)显然只能过第三个子任务。
接下来考虑优化，我们可以用一个\(G_{i,j}\)用来维护\(\sum_{k=1}^{j-2}{f_{i,k}}\)，则有\(f_{i,j}=g{i,j-2}\)。于是复杂度降到\(O(nm)\)。就不会出现这个结果了。但是也只能拿\(60\)分。
\(100\)分思路及代码：
考虑最后一个位置不种花的情况，这意味着每一朵花后面都跟了一个空位。我们将花和它后面的空位看成同一个 物体，则问题变成了有$ (n-m) \(个位置，放\) m \(个物体，放置无限制。根据组合数的定义，这样选位置的方案数为\)C_{n-m}^{m}$。注意到这样仍然是不考虑花的序号的，要再乘上 \(m!\)。
考虑最后一个位置放花的情况，这意味着除了最后一朵花后面都跟了一个空位，我们去掉最后一个位置，剩下的花和后面的空位看成同一个物体，则同上可以计算方案数是\(C_{n-m}^{m-1}\)。同样要乘上$ m!\(。
根据加法原理，总方案数为\)$ m!(C_{n-m}{m}+C_{n-m}) $$。
由于模数是质数，预处理阶乘求一下阶乘逆元，即可做到\(O(n log P)\)。但是只能过到第5个点。
如果你足够机智，可以发现上面的式子可以这么化：
$$m!(C_{n-m}{m}+C_{n-m})=m!C_{n-m}{m}+m!C_{n-m}=A_{n-m}{m}+mA_{n-m}$$
于是不用求逆元，直接求A即可。
当然，由于代数恒等式 \(A_x^y+yA_x^{y-1}=A_{x+1}^y\)，可以直接求\(A_{n-m+1}^m\) 。
这样就可以\(A\)了这道题了。
