[文化课]圆锥曲线「硬解定理」推导及记忆方法

推导

已知椭圆或双曲线（为什么没有抛物线？抛物线联立太简单了）\(\frac{x^2}{M}+\frac{y^2}{N}=1\) 和直线 \(Ax+By+C=0\) 交于 \(P(x_1, y_1),Q(x_2, y_2)\) 两点，则

消 \(x\)：\(x=\frac{-C-By}{A}\)，代入圆锥曲线方程 \(Nx^2+My^2-MN=0\) 得 \(N\frac{B^2y^2+2BCy+C^2}{A^2}+My^2-MN=0\)，整理得 \((MA^2+NB^2)y^2+2NBCy+NC^2-MNA^2=0\)。

令 \(\$=MA^2+NB^2\)（笔者在现实中真的是这么写的），

则 \(y_1+y_2=\frac{-2NBC}{\$}, y_1y_2=\frac{N(C^2-MA^2)}{\$}\)。

消 \(y\)：同理可得 \(x_1+x_2=\frac{-2MAC}{\$}, x_1x_2=\frac{M(C^2-NB^2)}{\$}\)。

通分后常见杂种 \(x_1y_2+x_2y_1=\frac{-Cy_2-By_1y_2}{A}+\frac{-Cy_1-By_2y_1}{A}=-\frac{2B}{A}\cdot\frac{N(C^2-MA^2)}{\$}-\frac{C}{A}\cdot\frac{-2NBC}{\$}\)，

整理得 \(\frac{(-2NBC^2+2MNBA^2)}{A\$}-\frac{-2NBC^2}{A\$}=\frac{2MNAB}{\$}\)。

弦长公式中将用到 \((x_1-x_2)^2=\frac{4M^2A^2C^2}{\$^2}-\frac{4(MA^2+NB^2)M(C^2-NB^2)}{\$^2}=\frac{4MNB^2(\$-C^2)}{\$^2}\)。

同理 \((y_1-y_2)^2=\frac{4MNA^2(\$-C^2)}{\$^2}\)。

弦长 \(|PQ|\) 有两种写法 \(\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}|x_1-x_2|\) 和 \(\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|=\sqrt{1+m^2}|y_1-y_2|\)，其中 \(k\) 为直线斜率，\(m\) 为斜率倒数，俗称「平率」。

此处 \(k=-\frac{A}{B}, m=-\frac{B}{A}\)，随便代一个解得 \(|PQ|=\sqrt{1+\frac{A^2}{B^2}}\sqrt{\frac{4MNB^2(\$-C^2)}{\$^2}}=\frac{2\sqrt{MN(A^2+B^2)(\$-C^2)}}{|\$|}\)，非常对称。

结论

因此我们有圆锥曲线全套的硬解定理：

若圆锥曲线 \(\frac{x^2}{M}+\frac{y^2}{N}=1\) 和直线 \(Ax+By+C=0\) 交于 \(P(x_1, y_1),Q(x_2, y_2)\) 两点，记 \(\$=MA^2+NB^2\)，则

\[\begin{cases} x_1+x_2=\frac{-2MAC}{\$},\ x_1x_2=\frac{M(C^2-NB^2)}{\$}\\ y_1+y_2=\frac{-2NBC}{\$},\ y_1y_2=\frac{N(C^2-MA^2)}{\$}\\ x_1y_2+x_2y_1=\frac{2MNAB}{\$}\\ |x_1-x_2|=\frac{2|B|\sqrt{MN(\$-C^2)}}{|\$|}\\ |y_1-y_2|=\frac{2|A|\sqrt{MN(\$-C^2)}}{|\$|}\\ |PQ|=\frac{2\sqrt{MN(A^2+B^2)(\$-C^2)}}{|\$|} \end{cases} \]

记忆

如何记忆呢？分母上都有的 \(\$\) 就不用说了，观察上面的东西。

很显然它们可以分为「对称」和「不对称」两类，譬如 \(x_1+x_2=\frac{-2MAC}{\$}\) 的分母就是由对称的 \(-2C\) 和不对称的 \(MA\) 组成。

显然，不对称的部分仅在单维度坐标和差积中出现，我们只需要记住 \(x\) 相关的即可：它们都包含 \(M\)，和还包含 \(A\)，积、差还包含 \(B\)。

除了单维度坐标积以外，其他结果分母均包含 \(2\)。

更细节的东西大概只能通过口诀记忆了，这方面请读者自行发挥创意，自己编的才是最好记的。