第七天在做什么？有没有空？可以来抱灵吗？

0.杂谈

今天是 lyh 出题，打开题面 真 · 开 幕 雷 击，计算几何完全不会。
没拿到题的时候就听有人说 T2 重题了，所以又看了看 T2，发现确实是前两天兔子讲锅的题。
换了题目，发现又是一道毒瘤题，看旁边的同学几乎已经全员扫雷了（
于是尝试打了几个暴力，最终得分 \(0+0+0=0\)。
这是提交代码时的部分文件夹：

lyh 每个题放了 100 个点，所以一中午大概测了不到三分之一（还没测到几个真人）。
到下午四点大概测完了五分之二。

1.简易题解

A

给出一个几何体的主视图和侧视图（均为多边形），计算它的最大体积。
先判掉不合法情况。
我们记 \(S(h)\) 为 \(z=h\) 截物体得到的面积，现在需要求 \(\int S(h)\text{d}h\)。
要使体积最大，我们肯定要让截面是矩形，也就是 \(S(h)=l(h)+w(h)\)，其中 \(l(h),w(h)\) 为正视图、侧视图中比 \(h\) 高的部分在水平面上的投影长度之和。发现 \(l\) 和 \(w\) 都是分段函数，而且每一段都是一次函数，那么分段积分就完了。

B（Updated）

给定质数 \(p\) 和整数 \(k\)，以及一个大整数 \(A\)，求有多少对 \((n,m)\)（\(0\le m\le n\le A\)） 满足 \(p^k|\binom nm\)（原题 CF582D）。
因为被 \(p^k\) 整除就是在 \(p\) 进制下末尾至少有 \(k\) 个零，记 \(z_p(x)\) 为 \(x\) 在 \(p\) 进制下末尾零的个数，那么 \(z_p\left(\dbinom nm\right)=z_p(n!)-z_p(m!)-z_p((n-m)!)\)。
接下来用到了 Kummer 定理：\(z_p\left(\binom{n+m}{m}\right)\) 即为在 \(p\) 进制下计算 \(n+m\) 的进位次数。
所以考虑数位 dp。状态和方程亿点点复杂稍后补

C

一个长度为 \(n\) 的包含 abcd 的字符串，每个位置出现 abcd 的概率依次是 \(p_a,p_b,p_c,p_d\)，求其 Huffman 编码的期望长度。
发现虽然字串数量达到了惊人的 \(4^n\)，但是不同的概率是很少的，所以可以考虑合到一起处理。

2.集训队作业选讲

1

题面见 AT3950。
如何判断一个字符串是不是美しい的呢？发现我们可以贪心地遇到 000 变成 0，遇到 01 删 01。所以我们可以设计一个 dp 状态 \(f_{i,j,k}\) 表示对前 \(i\) 位进行完以上过程后剩下 \(j\) 个 \(0\) 和 \(k\) 个 \(1\)，如果最后 \(k>j\) 那么字符串是美しい的。
由于 \(j\) 一定不超过 \(2\)，所以 \(k\) 也只需要枚举到 \(2\) 就行了。

2

题面见 CF578F。
把网格图黑白染色，那么一面镜子会连接两个同色点，此时图满足条件当且仅当红色点或蓝色点形成一棵树。
证明其实就是根据题目条件感性理解，此处从略（
所以分别统计生成树个数就行了，缩点后上矩阵树定理。

3

题面见 AT5619。
考虑 \(1\) 跟某个点配对后会发生什么：这条弦将圆弧分成了两部分，两部分之间连成一个森林。

所以可以考虑设计 dp 状态。\(f_{a,b,c,d}\) 表示将 \([a,b],[c,d]\) 连成一个森林的方案数，\(g_{a,b,c,d}\) 表示连成树的方案数。
前者可以枚举第一棵树覆盖了哪些节点，后者就是枚举那条跨过弦的边。