[整理]弦图学习笔记
0.前言
由于机房巨神都学了这玩意,以前也没接触过这些科技,于是决定拿出一晚上搞(颓)一搞(颓)。
基本上是照着 OI Wiki 学的,有的证明会比较感性甚至懒得证。
1.图论基础
一些简单的定义不放了,可以参照《组合数学》(冯荣权,宋春伟)第七章图论。
定理 \(1.0\) 设最小团覆盖数为 \(\kappa(G)\),则 \(\alpha(G)\le\kappa(G)\)。
定理 \(1.1\) 弦图的导出子图为弦图。
证明:若非弦图,则原图中有多于三元环,矛盾。\(\Box\)
定义 \(1.2\) 将 \(u,v\) 间割点的集合称为点割集。
引理 \(1.3\) 设删去极小点割集 \(I\) 后包含 \(u,v\) 的连通块为 \(G_u,G_v\),则 \(\forall x\in I,N(x)\cap G_u\ne\varnothing,N(x)\cap G_v\ne\varnothing\)。
证明:反证即得。\(\Box\)
定理 \(1.4\) 弦图中任两点间极小点割集的导出子图为团。
证明:数学归纳法。设极小点割集为 \(I\),则 \(|I|=1\) 时成立。
若 \(|I|>1\),设 \(u,v\in I\),由引理 \(1.3\) 易知,存在 \(u_1,u_2\in N(u),v_1,v_2\in N(v)\) 满足 \(u_1,v_1\in G_u,u_2,v_2\in G_v\)。
令 \(u\sim v\) 为 \(u,v\) 之间最短路径,则此时显然存在多于四元环 \(u-u_1\sim v_1-v-v_2\sim u_2-u\),由于原图为弦图,所以环上必有至少一条弦。
而显然这条弦只能连接 \(u,v\),于是定理得证。\(\Box\)
定义 \(1.5\) 若 \(\{x\}+N(x)\) 的导出子图为团,则称 \(x\) 为单纯点。
引理 \(1.6\) 弦图至少有一个单纯点,不是完全图的弦图至少有两个不相邻单纯点。
证明:数学归纳法。显然点数 \(\le3\) 时成立。
设点数 \(<n\) 时成立,当前图(非完全图)有 \(n\) 个点,设 \(I\) 为 \(u,v\) 间极小点割集,若 \(G_u+I\) 为完全图,则 \(u\) 即为单纯点;否则,\(G_u+I\) 为弦图,必存在两个不相邻单纯点。由于 \(I\) 的导出子图为团,所以 \(G_u\) 中必存在一个单纯点。于是定理得证。\(\Box\)
定义 \(1.7\) 一个图的完美消除序列(PEO)定义为 \(1\sim n\) 的一个排列 \(v_1,\dots,v_n\),满足任意 \(v_i\) 在 \({v_i,\dots,v_n}\) 的导出子图中为单纯点。
定理 \(1.8\) 弦图 \(\Leftrightarrow\) 存在 PEO。
证明:由引理 \(1.6\) 易证充分性,由反证法易证必要性。\(\Box\)
2.弦图的判定
先来看如何求 PEO,暴力求显然不行,于是就有了最大势算法(Maximum Cardinality Search)。
算法流程是这样的:倒序给点标号,设 \(c_x\) 为 \(N(x)\) 中已标号的点数,则每次标 \(c\) 最大的点。
正确性证明先咕着,想起来了再补。
MCS 算法只是求出了一个序列,如果我们不知道原图是否为弦图,那么就需要判断一下。
判断方法很简单,只需判断 \(v_i\) 在 \({v_i,\dots,v_n}\) 中相邻点中最小点是否与其他点连通即可。
那么,我们用 \(O(n+m)\) 的复杂度解决了弦图判定问题。
3.弦图的美妙性质
3.1 最大独立集/最小团覆盖
洛谷P3852 [TJOI2007]小朋友
PEO 上从前往后依次选择即可。
正确性:设通过这种方式选出了 \(k\) 个点,则 \(\kappa(G)\le k\le\alpha(G)\),又 \(\alpha(G)\le\kappa(G)\),所以 \(k=\alpha(G)=\kappa(G)\)。
3.2 色数/团数
洛谷P3196 [HNOI2008]神奇的国度
PEO 上从后往前依次染色即可。
正确性:与 3.1 类似,留作练习。
如果不需要染色方案,还可以求 \(\max\{|\{x\}+N(x)|\}\)(这里的 \(N(x)\) 是 PEO 上 \(x\) 之后的邻居,下同)。
3.3 极大团
弦图的极大团一定是某一个 \(\{x\}+N(x)\),而我们需要判定是否为极大团。
设 \(G=\{x\}+N(x),H=\{y\}+N(y)\),若 \(G\subset H\),则 \(G\) 不是极大团并且 PEO 上 \(y\) 在 \(x\) 前。
设 \(\operatorname{next}(x)\) 为 \(N(x)\) 中最靠前的点,\(y^*\) 为所有 \(y\) 中最靠后的点,那么 \(\operatorname{next}(y^*)=x\)。
所以只需判断是否存在 \(y\) 满足 \(\operatorname{next}(y)=x,|N(x)|+1\le|N(y)|\) 即可。
4.后记
这篇文章仅介绍了与弦图有关的一部分内容,cdq 的论文中还提到了区间图、极大团树等科技,以后会加以补充。
由于学得比较仓促,所以仅仅是入门水平,如果有描述不清或事实性错误请指出。
其实这部分内容挺简单的,前提是你要感性理解。