生成函数推导组合恒等式

上接 https://www.cnblogs.com/juruo-zzt/p/15369446.html

设 $F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} x^i$，生成函数是形式幂级数，不考虑其收敛性。假设它收敛，那么有 $(1-x)F(x)=1$，即：

$$\frac 1{1-x}=\sum_{i=0}^{\infty}x^i$$

对上述公式求 $k-1$ 阶导可得：

$$\frac{(k-1)!}{(1-x)^k}=\sum_{i=0}^{\infty}(i+k-1)^{\underline{k-1}}x^i$$

两边同时除以 $(k-1)!$ 得：

$$\frac{1}{(1-x)^{k}}=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{k+i-1}{k-1}x^i$$

范德蒙德卷积

$$\sum_i\binom ni\binom m{m-i}=\binom{n+m}{n}$$

$$[x^n](x+1)^{n}(x+1)^m=[x^n](x+1)^{n+m}=\binom{n+m}{n}$$

上指标求和

$$\sum_{i=0}^a \binom{i}{b}=\binom{a+1}{b+1}$$

$$[x^a]\frac{1}{1-x}\cdot \frac{x^b}{(1-x)^{b+1}}=[x^a]\frac{x^b}{(1-x)^{b+2}}=\binom{a+1}{b+1}$$

不知道叫什么的神秘公式

$$\sum_{i=a}^{n-b} \binom{i}{a}\binom{n-i}{b}=\binom{n+1}{a+b+1}$$

$$[x^{n}]\frac{x^a}{(1-x)^{a+1}}\cdot\frac{x^b}{(1-x)^{b+1}}=[x^n]\frac{x^{a+b}}{(1-x)^{a+b+2}}=\binom{n+1}{a+b+1}$$

神秘公式 2

总的来说就是凑卷积形式