广义矩阵快速幂二元运算符所需条件

一般地,如果矩阵中的加法和乘法满足一个半环,那么矩阵乘法满足交换律。

一个半群由集合 \(A\) 和两个定义在 \(A\) 上的二元运算 \(\oplus\)\(\otimes\) 构成,其中:

  • \((A,\oplus)\) 是一个交换幺半群,满足:

    • \(\oplus\) 满足交换律,即对于任意 \(a,b\in A\),有 \(a\oplus b=b\oplus a\)

    • \(\oplus\) 满足结合律,即对于任意 \(a,b,c\in A\),有 \(a\oplus (b\oplus c) = (a\oplus b)\oplus c\)

    • 存在一个零元 \(0\in A\),使得对于任意 \(a\in A\)\(0+a=a+0=a\)

  • \((A,\otimes)\) 是一个幺群,满足:

    • \(\otimes\) 满足结合律,即对于任意 \(a,b,c\in A\),有 \(a\otimes (b\otimes c) = (a\otimes b)\otimes c\)

    • 存在一个一元 \(1\in A\),是的对于任意 \(a\in A\)\(1\otimes a=a\otimes 1 = a\)

  • \(\otimes\)\(\oplus\) 满足分配率,即:

    • 对于任意 \(a,b,c\in A\),满足 \(a\otimes(b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)\)

    • 对于任意 \(a,b,c\in A\),满足 \((a\oplus b)\otimes c=(a\otimes c)\oplus (b\otimes c)\)

  • 对于任意 \(a\in A\),与零元满足 \(0\otimes a=a\otimes 0=0\)

例如如下群满足以上条件:

  • \(A=\mathbb R\cup \{-\infty \}\)\(\otimes\) 为加法,\(\oplus\)\(\max\)

  • \(A=[0,2^n)\cap\mathbb Z\),$\otimes $ 为按位与,\(\oplus\) 为按位或,其中 \(n\in \mathbb Z^*\)

  • \(A=[0,2^n)\cap\mathbb Z\),$\otimes $ 为按位与,\(\oplus\) 为按位异或,其中 \(n\in \mathbb Z^*\)

翻译自 Editorial - AtCoder Beginner Contest 236

posted @ 2022-10-21 12:28  zzt1208  阅读(138)  评论(1编辑  收藏  举报