广义矩阵快速幂二元运算符所需条件
一般地,如果矩阵中的加法和乘法满足一个半环,那么矩阵乘法满足交换律。
一个半群由集合 \(A\) 和两个定义在 \(A\) 上的二元运算 \(\oplus\) 和 \(\otimes\) 构成,其中:
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\((A,\oplus)\) 是一个交换幺半群,满足:
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\(\oplus\) 满足交换律,即对于任意 \(a,b\in A\),有 \(a\oplus b=b\oplus a\);
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\(\oplus\) 满足结合律,即对于任意 \(a,b,c\in A\),有 \(a\oplus (b\oplus c) = (a\oplus b)\oplus c\);
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存在一个零元 \(0\in A\),使得对于任意 \(a\in A\),\(0+a=a+0=a\)。
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\((A,\otimes)\) 是一个幺群,满足:
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\(\otimes\) 满足结合律,即对于任意 \(a,b,c\in A\),有 \(a\otimes (b\otimes c) = (a\otimes b)\otimes c\);
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存在一个一元 \(1\in A\),是的对于任意 \(a\in A\),\(1\otimes a=a\otimes 1 = a\)。
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\(\otimes\) 对 \(\oplus\) 满足分配率,即:
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对于任意 \(a,b,c\in A\),满足 \(a\otimes(b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)\);
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对于任意 \(a,b,c\in A\),满足 \((a\oplus b)\otimes c=(a\otimes c)\oplus (b\otimes c)\)。
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对于任意 \(a\in A\),与零元满足 \(0\otimes a=a\otimes 0=0\)。
例如如下群满足以上条件:
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\(A=\mathbb R\cup \{-\infty \}\),\(\otimes\) 为加法,\(\oplus\) 为 \(\max\);
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\(A=[0,2^n)\cap\mathbb Z\),$\otimes $ 为按位与,\(\oplus\) 为按位或,其中 \(n\in \mathbb Z^*\);
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\(A=[0,2^n)\cap\mathbb Z\),$\otimes $ 为按位与,\(\oplus\) 为按位异或,其中 \(n\in \mathbb Z^*\)。