Matrix-Tree Theorem

简介

矩阵树定理用来求无向图生成树个数，或者有向图指定根的内向树、外向树个数。

这东西大概是 useless，但是毕竟正式比赛考过（联合省选 2020，sto wzj52501 orz），所以还是学一学。

全文临摹 OI-Wiki。

无向图

对于一张无向图 \(G\)，定义其度数矩阵 \(D\)：

\[D_{ij}=\begin{cases}\deg(i), &i=j\\0, &i\neq j\end{cases}\\ \]

令 \(e(i,j)\) 表示点 \(i\) 到点 \(j\) 的路径数量，定义 \(G\) 的邻接矩阵 \(A\)：

\[A_{ij}=\begin{cases}0,&i=j\\e(i,j),&i\neq j\end{cases} \]

\(G\) 的基尔霍夫矩阵（Kirchhoff's matrix）\(L=D-A\)。

那么图 \(G\) 的生成树个数 \(t\) 由下列式子求得：

\[t=\det L\binom{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n} \]

\(L\binom{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n}\) 表示 \(L\) 保留行列编号为 \(1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n\) 的元素的 \(n-1\) 阶主子式。由于无向图基尔霍夫矩阵的性质，这里 \(k\) 可以取任意值。

有向图

对于外向树而言，\(\deg(i)\) 表示 \(i\) 的入度，内向树反过来。

然后求：

\[t=\det L\binom{1,2,\cdots,\mathit{root}-1,\mathit{root}+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,\mathit{root}-1,\mathit{root}+1,\cdots,n} \]

即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef vector<int> vi;
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
const int N=610,mod=1e9+7;
void Add(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
void Sub(int &x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
int a[N][N],deg[N];
int main()
{
	int n=read(),m=read(),op=read(),r=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read(),w=read();
		if(u==v)continue;
		if(op==0)Add(deg[u],w),Add(deg[v],w),Sub(a[u][v],w),Sub(a[v][u],w);
		else Add(deg[v],w),Sub(a[u][v],w);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)Add(a[i][i],deg[i]);
	for(int i=1;i<n;i++)for(int j=1;j<n;j++)a[i][j]=a[i+1][j+1];
	n--;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			while(a[i][i])
			{
				int x=a[j][i]/a[i][i];
				for(int k=1;k<=n;k++)Sub(a[j][k],1ll*a[i][k]*x%mod);
				for(int k=1;k<=n;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
				r^=1;
			}
			for(int k=1;k<=n;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
			r^=1;
		}
	}
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=1ll*ans*a[i][i]%mod;
	if(!r)ans=(mod-ans)%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

应用

「雅礼集训 2017 Day8」共

假设钦定了哪 \(K\) 个是奇数点，剩下 \(N-K\) 个是偶数点，那么奇数点和偶数点连边，这就是一个二分图求生成树个数。考虑其基尔霍夫矩阵去掉最后一行一列的主子式：

\[\left|\begin{matrix} N - K & 0 & \cdots & 0 & -1 & -1 & \cdots & -1\\ 0 & N - K & \cdots & 0 & -1 & -1 & \cdots & -1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & N - K & -1 & -1 & \cdots & -1\\ -1 & -1 & \cdots & -1 & K & 0 & \cdots & 0\\ -1 & -1 & \cdots & -1 & 0 & K & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & \cdots & -1 & 0 & 0 & \cdots & K \end{matrix}\right| \]

经过复杂的推导，可得该行列式的值为 \((N-K)^{K-1}K^{N-K-1}\)，乘上选择 \(K-1\) 个奇数点的方案数，答案就是 \(\binom{N-1}{K-1}(N-K)^{K-1}K^{N-K-1}\)。

「联合省选 2020 A」作业题

这东西肯定先莫反/欧拉反演，那么问题就变成了：保留边权为 \(d\) 倍数的边，求所有生成树边权和。

直接枚举每条边做 \(\mathcal O(n^3m)\) 做肯定是不行的。考虑生成函数，每条边的边权设为 \(w_ix + 1\)，那么对于每个生成树，边权乘积的一次项系数就是这个生成树边权和。

还有一些细节问题：如何消元一次函数行列式，本质上就是要求出一次函数在 \(\bmod x^2\) 意义下的四则运算。加减乘是平凡的，对于除法，不难算出 \(ax+b\) 的逆元是 \(-\frac{a}{b^2}x+\frac{1}{b}\)。