组合恒等式
基本公式：
\[\binom n m = \binom n {n - m}\\
\sum_{i = 0}^n \binom n i = 2 ^ n\\
\binom n m = \binom {n - 1} {m - 1} + \binom {n - 1}{m}\]
上指标求和：
\[\sum_{i = m} ^ n \binom i m = \binom {n + 1} {m + 1}\quad(1)\\\sum_{i = 0} ^ m \binom {n + i} n=\binom{n+m+1}{n+1} = \binom {n + m + 1} m\quad(2)
\]
其中 \((2)\) 是 \((1)\) 转化来的。
范德蒙德卷积：
\[\sum_{i=0}^k\binom ni\binom m{k-i}=\binom {n+m}k
\]
常用变形：
\[\sum_{i=0}^{\min\{n,m\}}\binom ni\binom mi = \binom{n+m}{n}\\\sum_{i=0}^n\binom ni^2=\binom{2n}{n}
\]
没有名字的公式：
\[\binom n m \binom m k = \binom n k \binom {n - k} {m - k}
\]
以上公式都可以通过组合意义证明，留给读者练习。
