20201017 模拟赛总结
题目PDF，提取码 q2xb。
T1
原题：洛谷 P4198
线段树。每个节点维护这个区间的答案 \(\mathrm{ans}\) 和最大值 \(\max\)，对于查询操作，答案显然为根节点的 \(\mathrm{ans}\)。对于修改操作，合并两个子区间较为麻烦。
首先，左儿子的 \(\mathrm{ans}\) 肯定在其父亲的 \(\mathrm{ans}\) 中，直接累加即可；对于右儿子，要找到其答案序列中大于等于左儿子的 \(\max\) 的第一个值 \(x\)，并考虑这个值能给答案做多大贡献。具体地，右儿子做的贡献就是右儿子的答案序列中 \(x\) 及 \(x\) 后面的元素的数量。写一个函数，在线段树上二分即可。
时间复杂度 \(\mathcal O(n\log^2 n)\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e5;
struct seg
{
int l,r,ans;
double max;
} t[N*4+10];
#define ls (p*2)
#define rs (p*2+1)
void build(int p,int l,int r)
{
t[p].l=l; t[p].r=r;
if(l==r)
{
t[p].ans=0; t[p].max=0;
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(ls,l,mid);
build(rs,mid+1,r);
t[p].ans=0;t[p].max=0;
}
int get(int p,double k)
{
if(t[p].l==t[p].r) return t[p].max>k;
if(t[ls].max>k) return get(ls,k)+t[p].ans-t[ls].ans;
if(t[ls].max<=k && t[rs].max>k) return get(rs,k);
return 0;
}
void modify(int p,int l,double d)
{
if(t[p].l==t[p].r)
{
t[p].max=d;
t[p].ans=1;
// printf("t[%d].ans:%d .max:%.3lf\n",p,t[p].ans,t[p].max);
return;
}
int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
if(l<=mid) modify(ls,l,d);
else modify(rs,l,d);
// printf("t[%d.ls].max:%.3lf\n",p,t[ls].max);
// printf("t[%d.rs].max:%.3lf\n",p,t[rs].max);
t[p].ans=t[ls].ans+get(rs,t[ls].max);
// printf("get(%d, %.3lf): %d\n",rs,t[ls].max,get(rs,t[ls].max));
t[p].max=max(t[ls].max,t[rs].max);
}
inline void read(int &x)
{
x=0; int f=1;
char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9')
{
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0' && c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
x*=f;
}
int main()
{
int n,m;
read(n);read(m);
build(1,1,n);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
read(x);read(y);
modify(1,x,y/1.0/x);
printf("%d\n",t[1].ans);
// puts("---------");
}
return 0;
}
T2
原题：洛谷 P1266
令 \(\operatorname{dis}(u,s)\) 代表以速度 \(s\) 到达点 \(u\) 的最短时间，这样在最短路的过程中就可以处理 \(V_i\) 为 \(0\) 的情况。SPFA 求最短路即可。
时间复杂度 \(\mathcal O(\text{懒得算})=\mathcal O(\text{能过})\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=150,M=150*150,V=500;
int head[N+10],ver[M+10],nxt[M+10],v[M+10],l[M+10],tot=0;
inline void add(int x,int y,int vv,int ll)
{
ver[++tot]=y;
v[tot]=vv;
l[tot]=ll;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
double dis[N+10][V+10];
bool book[N+10][V+10];
typedef pair<int,int> pii;
#define mp make_pair
pii pre[N+10][V+10];
int ans[N+10],cnt=0;
inline void spfa()
{
queue<pii> que;
que.push(mp(1,70));//first:vertex second:speed
book[1][70]=1;
pre[1][70]=mp(-1,-1);
// memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
// printf("dis[0][0]:%.3lf\n",dis[0][0]);
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=V;j++)
dis[i][j]=(double)0x7fffffff;
dis[1][70]=0;
while(!que.empty())
{
pii x=que.front(); que.pop();
// printf("x:%d\n",x.first);
book[x.first][x.second]=0;
for(int i=head[x.first];i;i=nxt[i])
{
int y=ver[i],vv=v[i],ll=l[i];
if(!vv)
{
// printf("y:%d\n",y);
if(dis[x.first][x.second]+(double)(ll/1.0/x.second)<dis[y][x.second])
{
dis[y][x.second]=dis[x.first][x.second]+(double)(ll/1.0/x.second);
if(!book[y][x.second])
{
book[y][x.second]=1;
que.push(mp(y,x.second));
}
pre[y][x.second]=x;
}
}
else
{
if(dis[x.first][x.second]+(double)(ll/1.0/vv)<dis[y][vv])
{
dis[y][vv]=dis[x.first][x.second]+(double)(ll/1.0/vv);
if(!book[y][vv])
{
book[y][vv]=1;
que.push(mp(y,vv));
}
pre[y][vv]=x;
}
}
}
}
}
inline void read(int &x)
{
x=0; int f=1;
char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9')
{
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0' && c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
x*=f;
}
void output(int x,int y)
{
// printf("%d ",x);
ans[++cnt]=x-1;
if(pre[x][y].first==-1) return;
output(pre[x][y].first,pre[x][y].second);
}
int main()
{
int n,m,d;
read(n);read(m);read(d);d++;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,vv,ll;
read(x);read(y);read(vv);read(ll);
x++;y++;
add(x,y,vv,ll);
}
double Min=(double)0x7fffffff;
spfa();
int f;
for(int i=1;i<=500;i++)
{
if(dis[d][i]<Min)
{
Min=dis[d][i];
f=i;
}
}
output(d,f);
for(int i=cnt;i;i--) printf("%d ",ans[i]);
// printf("%.3lf %d",Min,f);
}
T3
原题：bzoj 3257
令 \(f(x,0/1/2)\) 表示根节点为 \(x\)，状态分别为 \(0/1/2\) 的最小代价，其中状态 \(1\) 表示没有黑色节点，状态 \(2\) 表示没有白色节点，状态 \(3\) 表示有一个白色节点，然后暴力转移。最后的答案就是 \(\min\left(f(1,0),f(1,1),f(1,2)\right)\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define int long long
const int N=1e6,M=2e6,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int black[N+10],white[N+10],col[N+10];
int head[N+10],ver[M+10],nxt[M+10],tot,son[N+10],edge[M+10];
inline void add(int x,int y,int z)
{
ver[++tot]=y;
edge[tot]=z;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
inline void read(int &x)
{
x=0;
int f=1;
char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9')
{
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0' && c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
x*=f;
}
int sum[N+10];
int fa[N+10];
void dfs(int u)
{
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=ver[i];
if(fa[u]==v) continue;
son[u]++;
fa[v]=u;
dfs(v);
// black[u]=black[v]+(col[u]==0);
// white[u]=white[v]+(col[v]==1);
}
}
int f[N+10][3]; // 0:0black 1:0white 2:1whit
void dp(int u)
{
if(!son[u])
{
if(col[u]==0) f[u][1]=0;
else if(col[u]==1) f[u][0]=f[u][2]=0;
else f[u][0]=f[u][1]=0;
return;
}
if(col[u]==0)
{
f[u][0]=INF;f[u][1]=0;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=ver[i],w=edge[i];
if(v==fa[u]) continue;
dp(v);
f[u][1]+=min(f[v][1],min(f[v][0],f[v][2])+w);
sum[u]+=min(f[v][1],min(f[v][0],f[v][2])+w);
}
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=ver[i],w=edge[i];
if(v==fa[u]) continue;
f[u][2]=min(f[u][2],(sum[u]-min(f[v][1],min(f[v][0],f[v][2])+w))+f[v][2]);
}
}
else if(col[u]==1)
{
f[u][0]=0;f[u][1]=INF ;f[u][2]=0;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=ver[i],w=edge[i];
if(v==fa[u]) continue;
dp(v);
f[u][0]+=min(f[v][0],min(f[v][1],f[v][2])+w);
f[u][2]+=min(f[v][1],min(f[v][0],f[v][2])+w);
}
}
else
{
f[u][0]=0;f[u][1]=0;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=ver[i],w=edge[i];
if(v==fa[u]) continue;
dp(v);
f[u][0]+=min(f[v][0],min(f[v][1],f[v][2])+w);
f[u][1]+=min(f[v][1],min(f[v][0],f[v][2])+w);
sum[u]+=min(f[v][1],min(f[v][0],f[v][2])+w);
}
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=ver[i],w=edge[i];
if(v==fa[u]) continue;
f[u][2]=min(f[u][2],f[v][2]+(sum[u]-min(f[v][1],min(f[v][0],f[v][2])+w)));
}
}
}//0black 1white
void sol()
{
memset(head,0,sizeof(head));tot=0;
int n;
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&col[i]);
for(int i=1;i<n;i++)
{
int u,v,w;
scanf("%lld %lld %lld",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
add(v,u,w);
}
memset(sum,0,sizeof(sum));
memset(son,0,sizeof(son));
memset(f,0x3f,sizeof(f));
memset(fa,-1,sizeof(fa));
dfs(1);
dp(1);
// for(int i=1;i<=n;i++)
// for(int j=0;j<3;j++)
// printf("f[%d][%d]: %d\n",i,j,f[i][j]);
printf("%lld\n",min(f[1][1],min(f[1][0],f[1][2])));
}
signed main()
{
int T;
scanf("%lld",&T);
while(T--) sol();
return 0;
}
