裴蜀定理的证明

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定理

\(ax+by=c,\;x\in \mathbb{Z^+},\;y\in\mathbb{Z^+}\) 成立的充要条件是 \(\gcd(a,b)\mid c\)。

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证明

设 \(s=\gcd(a,b)\)，显然 \(s\mid a\)，并且 \(s\mid b\)，

因为 \(x,y\in\mathbb{Z^+}\)，

所以 \(s\mid ax,\;s\mid by\)。

显然要使得之前的式子成立，则必须满足 \(c\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公约数的倍数。

又因为 \(x,y\in\mathbb{Z^+}\)，

所以 \(c\) 必然是 \(a,b\) 最大公约数的倍数。

因此，证得该定理成立。