Dijkstra算法详解

Part 1.Dijkstra算法是干嘛的

Dijkstra 算法用于求图中任意两点之间的最短路径，或任意一点到其他到其他所有点的最短路径，即单源最短路。Dijkstra 算法只适用于所有边权都为非负数的图，如果边权为负，Dijkstra 算法就无能为力了。

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Part 2.算法流程

这里用邻接矩阵存图。

1. 将图分为两个集合：已知最短路成的定点集合 \(P\) 和未知最短路径的集合 \(S\)。用一个 book[] 数组记录那些点在集合 \(P\) 中，book[i]=true表示点 \(i\) 在集合中，book[i]=false 表示点 \(i\) 不在集合中。

2. 将源点 \(d\) 到自己的最短路径设为 \(0\)，其余的设为 \(\infty\)。这里用dis[i]表示点 \(d\) 到点 \(i\) 的最短路径，同时将源点 \(d\) 加入到集合 \(P\) 中。

3. (1)每次在集合S中选择一个里源点最近（即dis[i]最小）的点 \(i\)，将 \(i\) 加入集合 \(P\)（即book[i]=true）。(2)同时考查每一条与 \(i\) 有边相连的点 \(v\)，看看能否通过点 \(i\) 将 \(d\) 到 \(v\) 的距离缩短（即dis[v]=min(dis[v],dis[i]+e[i][v])）（也就是松弛）。

4. 重复第3步，当集合 \(S\) 为空时，算法结束。

code:

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 2147483647
int dis[1005],e[1005][1005];
bool book[1005];
int main()
{
	int n,m,i,j,u,v,minh,s,a,b,c;
	cin>>n>>m>>s;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=n;j++)
			if(i!=j)
				e[i][j]=inf; 
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>a>>b>>c;
		if(a!=b) e[a][b]=c;
	}
	for(i=1;i<=n;i++) dis[i]=e[s][i];
	book[s]=true;//2
	for(i=1;i<=n-1;i++)
	{
		minh=inf;
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			if(dis[j]<minh&&book[j]==false)
			{
				minh=dis[j];
				u=j;//3(1)
			}
		}
		book[u]=true;
		for(v=1;v<=n;v++)//3(2)
			if(e[u][v]<inf)
				if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
					dis[v]=dis[u]+e[u][v];
	}
	for(i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<" ";
	return 0;
}

part 3.还能再优化吗

上述流程的时间复杂度为 \(\mathcal O(n^2)\)，如果 \(n\) 大一点，那么就会T飞。

注意到步骤3(2)之和与 \(i\) 周围的边的点松弛，于是我们就可以用邻接表存图，优化算法的常数。

观察到步骤3(1)每次一个一个寻找距离最小的点非常耗时间，于是我们就用一个优先队列来实时存最小的点。（详见代码）

这样就可以将时间复杂度优化到 \(\mathcal O((m+n)\log n)\)。

code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=100010,M=100010;//N:点数,M:边数
int head[N],ver[M],edge[M],nxt[M],dis[N];
bool book[N];
int n,m,tot;
priority_queue<pair<int,int> > que;//第一维:距离,第二维:编号 
void add(int x,int y,int z)//构建邻接表 
{
	ver[++tot]=y;
	edge[tot]=z;
	nxt[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
}
void Dijkstra()
{
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(book,0,sizeof(book));
	dis[1]=0;
	que.push(make_pair(0,1));
	while(que.size())
	{
		int x=que.top().second; que.pop();
		if(book[x]) continue;
		book[x]=true;//标记 
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
		{
			int y=ver[i],z=edge[i];
			if(dis[y]>dis[x]+z)
			{
				dis[y]=dis[x]+z;
				que.push(make_pair(-dis[y],y));
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y,z;
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z);
	}
	Dijkstra();
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
	return 0;
}