前言
Dijkstra算法是最短路径算法中为人熟知的一种，是单起点全路径算法。该算法被称为是“贪心算法”的成功典范。本文接下来将尝试以最通俗的语言来介绍这个伟大的算法，并赋予java实现代码。
一、知识准备：
1、表示图的数据结构
用于存储图的数据结构有多种，本算法中笔者使用的是邻接矩阵。
图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：
从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij = aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。
从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。
（1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；
（2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；
（3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；
而有向图讲究入度和出度，顶点vi的入度为1，正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2，即第i行的各数之和。
有向图的定义也类似，故不做赘述。
2、单起点全路径
所谓单起点全路径，就是指在一个图中，从一个起点出发，到所有节点的最短路径。
3、图论的基本知识(读者需自行寻找相关资料)
4、互补松弛条件
设标量d1,d2,....,dN满足
dj<=di + aij, (i,j)属于A,
且P是以i1为起点ik为终点的路，如果
dj = di + aij, 对P的所有边(i, j)
成立，那么P是从i1到ik的最短路。其中，满足上面两式的被称为最短路问题的互补松弛条件。
二、算法思想
1、令G = （V，E）为一个带权无向图。G中若有两个相邻的节点,i和j。aij(在这及其后面都表示为下标，请注意)为节点i到节点j的权值，在本算法可以理解为距离。每个节点都有一个值di(节点标记)表示其从起点到它的某条路的距离。
2、算法初始有一个数组V用于储存未访问节点的列表，我们暂称为候选列表。选定节点1为起始节点。开始时，节点1的d1=0, 其他节点di=无穷大，V为所有节点。
初始化条件后，然后开始迭代算法，直到V为空集时停止。具体迭代步骤如下：
将d值最小的节点di从候选列表中移除。(本例中V的数据结构采用的是优先队列实现最小值出列，最好使用斐波那契对，在以前文章有过介绍，性能有大幅提示)。对于以该节点为起点的每一条边，不包括移除V的节点, (i, j)属于A， 若dj > di + aij（违反松弛条件）,则令
dj = di + aij , （如果j已经从V中移除过，说明其最小距离已经计算出，不参与此次计算）
可以看到在算法的运算工程中，节点的d值是单调不增的
具体算法图解如下
三、java代码实现
public class Vertex implements Comparable<Vertex>{
/**
* 节点名称(A,B,C,D)
*/
private String name;
/**
* 最短路径长度
*/
private int path;
/**
* 节点是否已经出列(是否已经处理完毕)
*/
private boolean isMarked;
public Vertex(String name){
this.name = name;
this.path = Integer.MAX_VALUE; //初始设置为无穷大
this.setMarked(false);
}
public Vertex(String name, int path){
this.name = name;
this.path = path;
this.setMarked(false);
}
@Override
public int compareTo(Vertex o) {
return o.path > path?-1:1;
}
}
public class Graph {
/*
* 顶点
*/
private List<Vertex> vertexs;
/*
* 边
*/
private int[][] edges;
/*
* 没有访问的顶点
*/
private Queue<Vertex> unVisited;
public Graph(List<Vertex> vertexs, int[][] edges) {
this.vertexs = vertexs;
this.edges = edges;
initUnVisited();
}
/*
* 搜索各顶点最短路径
*/
public void search(){
while(!unVisited.isEmpty()){
Vertex vertex = unVisited.element();
//顶点已经计算出最短路径，设置为"已访问"
vertex.setMarked(true);
//获取所有"未访问"的邻居
List<Vertex> neighbors = getNeighbors(vertex);
//更新邻居的最短路径
updatesDistance(vertex, neighbors);
pop();
}
System.out.println("search over");
}
/*
* 更新所有邻居的最短路径
*/
private void updatesDistance(Vertex vertex, List<Vertex> neighbors){
for(Vertex neighbor: neighbors){
updateDistance(vertex, neighbor);
}
}
/*
* 更新邻居的最短路径
*/
private void updateDistance(Vertex vertex, Vertex neighbor){
int distance = getDistance(vertex, neighbor) + vertex.getPath();
if(distance < neighbor.getPath()){
neighbor.setPath(distance);
}
}
/*
* 初始化未访问顶点集合
*/
private void initUnVisited() {
unVisited = new PriorityQueue<Vertex>();
for (Vertex v : vertexs) {
unVisited.add(v);
}
}
/*
* 从未访问顶点集合中删除已找到最短路径的节点
*/
private void pop() {
unVisited.poll();
}
/*
* 获取顶点到目标顶点的距离
*/
private int getDistance(Vertex source, Vertex destination) {
int sourceIndex = vertexs.indexOf(source);
int destIndex = vertexs.indexOf(destination);
return edges[sourceIndex][destIndex];
}
/*
* 获取顶点所有(未访问的)邻居
*/
private List<Vertex> getNeighbors(Vertex v) {
List<Vertex> neighbors = new ArrayList<Vertex>();
int position = vertexs.indexOf(v);
Vertex neighbor = null;
int distance;
for (int i = 0; i < vertexs.size(); i++) {
if (i == position) {
//顶点本身，跳过
continue;
}
distance = edges[position][i]; //到所有顶点的距离
if (distance < Integer.MAX_VALUE) {
//是邻居(有路径可达)
neighbor = getVertex(i);
if (!neighbor.isMarked()) {
//如果邻居没有访问过，则加入list;
neighbors.add(neighbor);
}
}
}
return neighbors;
}
/*
* 根据顶点位置获取顶点
*/
private Vertex getVertex(int index) {
return vertexs.get(index);
}
/*
* 打印图
*/
public void printGraph() {
int verNums = vertexs.size();
for (int row = 0; row < verNums; row++) {
for (int col = 0; col < verNums; col++) {
if(Integer.MAX_VALUE == edges[row][col]){
System.out.print("X");
System.out.print(" ");
continue;
}
System.out.print(edges[row][col]);
System.out.print(" ");
}
System.out.println();
}
}
}
public class Test {
public static void main(String[] args){
List<Vertex> vertexs = new ArrayList<Vertex>();
Vertex a = new Vertex("A", 0);
Vertex b = new Vertex("B");
Vertex c = new Vertex("C");
Vertex d = new Vertex("D");
Vertex e = new Vertex("E");
Vertex f = new Vertex("F");
vertexs.add(a);
vertexs.add(b);
vertexs.add(c);
vertexs.add(d);
vertexs.add(e);
vertexs.add(f);
int[][] edges = {
{Integer.MAX_VALUE,6,3,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE},
{6,Integer.MAX_VALUE,2,5,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE},
{3,2,Integer.MAX_VALUE,3,4,Integer.MAX_VALUE},
{Integer.MAX_VALUE,5,3,Integer.MAX_VALUE,5,3},
{Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,4,5,Integer.MAX_VALUE,5},
{Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,3,5,Integer.MAX_VALUE}
};
Graph graph = new Graph(vertexs, edges);
graph.printGraph();
graph.search();
}
}
四、 推荐阅读
