原码、反码、补码、进制转换
1. 机器数和真值
2. 原码、反码和补码的介绍
3. 原码、反码和补码的作用
4. 进制转换
1. 机器数和真值
1.1 机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机中用一个数的最高位存放符号，正数为 0、负数为 1。
比如，十进制中的数 +3 ，若计算机字长为 8 位，则转换成二进制就是 00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
1.2 真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位 1 代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值 131（10000011 转换成十进制等于 131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001 的真值 = -000 0001 = -1
2. 原码、反码和补码的介绍
2.1 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值，比如 8 位二进制：
[+1]原码 = 0000 0001
[-1]原码 = 1000 0001
因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：[1111 1111 , 0111 1111]，即：[-127 , 127] 。
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。
2.2 反码
反码的表示方法是：正数的反码是其本身；而负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反
[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反
可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值，通常要将其转换成原码再计算。
2.3 补码
补码的表示方法是：正数的补码就是其本身；负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后 +1（即在反码的基础上 +1）。
[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反 = [00000001] 补
[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反 = [11111111] 补
对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码在计算其数值。
3. 原码、反码和补码的作用
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数。对于正数，三种编码方式的结果都相同。例：
[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反 = [00000001] 补
而对于负数，其原码，反码和补码则都不相同。例：
[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反 = [11111111] 补
既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢？
首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减（真值的概念在本文最开头）。但是对于计算机，加减乘除已经是最基础的运算，要设计得尽量简单。要辨别“符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂，于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。根据运算法则，减去一个正数等于加上一个负数，即： 1-1 = 1 + (-1) = 0 ，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。
于是人们开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。以下以十进制计算表达式 1 - 1 = 0 为例。
首先来看原码：
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001] 原 + [10000001] 原 = [10000010] 原 = - 2
如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
为了解决原码做减法的问题，出现了反码：
1 - 1 = 1 + (-1)
= [0000 0001] 原 + [1000 0001] 原
= [0000 0001] 反 + [1111 1110] 反
= [1111 1111] 反
= [1000 0000] 把最终的反码结果转换回原码
= -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在“0”这个特殊的数值上。虽然人们理解上 +0 和 -0 是一样的，但是 0 带符号是没有任何意义的。而且会有 [0000 0000]原 和 [1000 0000]原 两个编码表示 0。
于是补码的出现，解决了 0 的符号以及两个编码的问题：
1 - 1 = 1 + (-1)
= [0000 0001] 原 + [1000 0001] 原
= [0000 0001] 补 + [1111 1111] 补
= [0000 0000] 补
= [0000 0000] 原
这样 0 用 [0000 0000] 表示，而以前出现问题的 -0 则不存在了。
使用补码，不仅仅修复了 0 的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。
(-1) + (-127)
= [1000 0001] 原 + [1111 1111] 原
= [1111 1111] 补 + [1000 0001] 补
= [1000 0000] 补
-1 - 127 的结果应该是 -128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补 就是 -128。但是注意因为实际上是使用以前的 -0 的补码来表示 -128，所以 -128 并没有原码和反码表示（对 -128 的补码表示 [1000 0000]补 算出来的原码是 [0000 0000]原，这是不正确的）。
这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为 [-127, +127]，而使用补码表示的范围是 [-128, 127]。
因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的 32 位 int 类型，可以表示范围是 [-2^31，2^31-1]，因为第一位表示的是符号位，使用补码表示时又可以多保存一个最小值。
4. 进制转换
4.1 十进制转二进制
十进制整数转二进制整数
十进制整数转换为二进制整数采用“除 2 反向取余”法。具体做法是：使用“短除法”，用 2 整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用 2 去除商，又会得到一个商和余数；如此循环进行，直到商为 0 时为止，然后从下向上读取每一次的余数。
如：将 789 转换为二进制
789 / 2 = 394 …… 1
394 / 2 = 197 …… 0
197 / 2 = 98 …… 1
98 / 2 = 49 …… 0
49 / 2 = 24 …… 1
24 / 2 = 12 …… 0
12 / 2 = 6 …… 0
6 / 2 = 3 …… 0
3 / 2 = 1 …… 1
1 / 2 = 0 …… 1
从下向上读取每一次的余数，把它们连接为字符串，就是答案：789 = 1100010101(B)
十进制小数转二进制小数
十进制小数转换成二进制小数采用“乘 2 取整，顺序排列”法。具体做法是：用 2 乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用 2 乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，此时 0 或 1 为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止。
然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。
程序实现
1 # 读取一个十进制数字 2 while 1: 3 try: 4 num = float(input("请输入一个十进制的数字：")) 5 break 6 except: 7 continue 8 9 # 整数部分的计算 10 int_result = 0 11 # 如果整数部分为0，无需继续计算 12 if int(num) == 0: 13 pass 14 else: 15 int_part = int(str(num)[:str(num).find(".")]) 16 # 用于存储每一次计算的余数 17 int_result = [] 18 # 开始循环除以2 19 while int_part > 0: 20 int_part, remainder = divmod(int_part, 2) # 获取商和余数 21 int_result.append(remainder) 22 int_result = int("".join(list(map(str, int_result[::-1])))) 23 24 # 小数部分的计算 25 float_part = float(str(num)[str(num).find("."):]) 26 float_result = 0 27 # 如果小数部分为0，无需继续计算 28 if float_part == 0: 29 # 最终结果=整数部分+小数部分 30 final_result = int_result 31 else: 32 # 用于存储每一次计算的整数部分 33 float_result = [] 34 while 1: 35 tmp_result = float_part * 2 36 # 取出整数部分（0或1） 37 float_result.append(int(tmp_result)) 38 if tmp_result == int(tmp_result): 39 break 40 float_part = float("0."+str(tmp_result)[str(tmp_result).find(".")+1:]) 41 float_result = float("0."+"".join(list(map(str, float_result)))) 42 43 # 最终结果为整数部分+小数部分 44 print(int_result+float_result)
4.2 二进制转十进制
转换方法
小数点前或者整数要从右到左用二进制的每个数去乘以 2 的相应次方并递增，小数点后则是从左往右乘以二的相应负次方并递减。
程序实现
1 # 读取一个二进制数字 2 while 1: 3 try: 4 bin_num = float(input("请输入二进制数字：")) 5 break 6 except: 7 continue 8 # 整数部分 9 int_bin = str(bin_num)[:str(bin_num).find(".")][::-1] 10 result = 0 11 for i in range(len(int_bin)): 12 if int_bin[i] == "1": 13 result += 2**(i) 14 # 小数部分 15 float_bin = str(bin_num)[str(bin_num).find(".")+1:] 16 for i in range(len(float_bin)): 17 if float_bin[i] == "1": 18 result += 2**(-(i+1)) 19 # 最终结果=整数部分+小数部分 20 print(result)
4.3 内置函数进行进制转换
1 # 十进制转其他进制 2 hex(n) # 10进制的n转16进制 3 oct(n) # 10进制的n转8进制 4 bin(n) # 10进制的n转2进制 5 6 # 其他进制转十进制 7 int("16", base=16) # 将16进制的16 转成10进制 8 int("7", base=8) # 将8进制的7 转成10进制 9 int("1", base=2) # 将2进制的1 转成10进制
