20240609训练
商品打包(pack)
题面：
有\(n\)个商品，第\(i\)个商品的体积为\(a_i\)，若干个质量为\(L\)的背包。令\(f_i\)为将第\(i\)个商品到第\(n\)个商品依次按如下的方式放入背包中所需要的最少背包数。
将第\(k\)商品放入背包的方法为，如果当前背包剩余容量\(\ge k\)那么放入，否则加入新背包。
题解：
从后往前加入，加入到第\(i\)个时所需要的背包数量即为\(f_i\)。
正确性证明:
假设顺着走需要三个背包，倒着走需要两个（如图，其他情况同理）：
[
]
其中令\(x_1\)到\(x_2\)的和为\(a\)，往后的每段同理依次为\(b\),\(c\),\(d\)。可以通过顺着和倒着写出两个方程组
顺着：
倒着：
其中顺着和倒着中\(a+b\le L\)且\(a+b>L\)，矛盾，所以说不存在背包个数不一样的情况。
复杂度\(\Theta(n)\)
代码：
#include<cstdio>
const int N=200005;
int n,L,a[N],f[N];
int main(){
freopen("pack.in","r",stdin),freopen("pack.out","w",stdout),scanf("%d%d",&n,&L);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
for(int i=n,cnt=1,sum=0;i;f[i]=cnt,i--){
sum+=a[i];
if(sum>L)sum=a[i],cnt++;
}
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",f[i]);
return puts(""),fflush(stdout),fclose(stdin),fclose(stdout),0;
}
集合(set)
题面：
有一个正整数\(n\)，和一个大小为\(m\)的可重集合\(B\)，对任意的\(B\)的元素\(x\)其中可以令\(n\)变成\(\left\lfloor\frac n x\right\rfloor\)。
问\(n\)可以变成多少种数。
题解：
直接DFS即可，其中\(n\)可以变成的数的种类使用unordered_set存储
在\(n=10^{15}\)，\(B=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\}\)时，答案最大为\(458123\)，可以使用unordered_set存储，时间可以通过。
代码：
#include<cstdio>
#include<unordered_set>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
const int M=15;
ll n,a[M];
int m;
std::unordered_set<ll>vis;
inline bool cmp(ll x,ll y){return x>y;}
void dfs(ll x){
if(vis.find(x)!=vis.end())return;
vis.insert(x);
if(x==0)return;
for(int i=1;i<=m;i++)dfs(x/a[i]);
}
int main(){
freopen("set.in","r",stdin),freopen("set.out","w",stdout),scanf("%lld%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%lld",a+i);
return std::sort(a+1,a+m+1,cmp),m=std::unique(a+1,a+m+1)-a-1,dfs(n),printf("%lld\n",(ll)vis.size()),fflush(stdout),fclose(stdin),fclose(stdout),0;
}
最小生成树(mst)
题面：
有一个\(n\)个点的完全无向带权图，和长度为\(n\)的序列\(x_1,x_2,\dots,x_n\)，对任意的\(1\le i<j\le n\)，点\(i\)到点\(j\)的边的权值为\(x_j-x_i\)，求该图的最小生成树。
题解：
使用Boruvka算法，求点\(i\)到不属于\(i\)所在的联通块的最短边一定连向的是\([1,i-1]\)的最大值或者\([i+1,n]\)的最大值，从前往后存储最大值和与最大值联通块不同的最大值（这里细节很多，调了很久），从后往前存储最小值和与最小值联通块不同的最小值，可以\(\Theta(n)\)的完成一轮更新，就可求出到每个联通块到联通块外的最短路径。
时间复杂度\(\Theta(n\log n)\)
代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define int long long
const int N=300005,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,x[N],fa[N],size[N],in[N],to[N],res[N],pre[N],cpre[N],suf[N],csuf[N],ans;
bool vis[N];
int find(int x){return x^fa[x]?fa[x]=find(fa[x]):x;}
inline void swap(int&x,int&y){
int t=x;
x=y,y=t;
}
inline bool merge(int x,int y){
x=find(x),y=find(y);
if(x==y)return false;
if(size[x]<size[y])swap(x,y);
size[x]+=size[y],fa[y]=x;
return true;
}
int calc(){
memset(vis+1,0,sizeof(bool)*n);
for(int i=1;i<=n;i++)vis[find(i)]=true;
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)cnt+=(int)vis[i];
return cnt;
}
inline bool Min(int&x,int y){
if(x>y)return x=y,true;
return false;
}
signed main(){
freopen("mst.in","r",stdin),freopen("mst.out","w",stdout),scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",x+i),fa[i]=i,size[i]=1;
for(;calc()!=1;){
for(int i=1,p1=0,p2=0;i<=n;pre[i]=p1,cpre[i]=p2,i++){
in[i]=find(i),res[i]=INF;
if(p1==0)p1=i;
else if(p2==0){
if(in[p1]!=in[i]){
if(x[i]>x[p1])p2=p1,p1=i;
else p2=i;
}
else{
if(x[i]>x[p1])p1=i;
}
}
else if(x[i]>x[p1]){
if(in[i]==in[p1])p1=i;
else p2=p1,p1=i;
}
else if(x[i]>x[p2]&&in[i]!=in[p1])p2=i;
}
for(int i=n,p1=0,p2=0;i;suf[i]=p1,csuf[i]=p2,i--){
if(p1==0)p1=i;
else if(p2==0){
if(in[p1]!=in[i]){
if(x[i]<x[p1])p2=p1,p1=i;
else p2=i;
}
else{
if(x[i]<x[p1])p1=i;
}
}
else if(x[i]<x[p1]){
if(in[i]==in[p1])p1=i;
else p2=p1,p1=i;
}
else if(x[i]<x[p2]&&in[i]!=in[p1])p2=i;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(in[i]!=in[pre[i]]){
if(Min(res[in[i]],x[i]-x[pre[i]]))to[in[i]]=in[pre[i]];
}
else if(cpre[i])if(Min(res[in[i]],x[i]-x[cpre[i]]))to[in[i]]=in[cpre[i]];
if(in[i]!=in[suf[i]]){
if(Min(res[in[i]],x[suf[i]]-x[i]))to[in[i]]=in[suf[i]];
}
else if(csuf[i])if(Min(res[in[i]],x[csuf[i]]-x[i]))to[in[i]]=in[csuf[i]];
}
for(int i=1;i<=n;i++)if(merge(in[i],in[to[i]]))ans+=res[in[i]];
}
printf("%lld\n",ans);
return fflush(stdout),fclose(stdin),fclose(stdout),0;
}
