错排数的大小估计
已知错排数
\[D_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}
\]
又知道
\[e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
\]
易得
\[\lim_{n\to\infty}\frac{D_n}{n!}=\frac{1}{e}
\]
讨论在\(n\)较小的时候，上述估算式子是否成立
事实上\(n!/e\)四舍五入后就是\(D_n\)
即
\[\left|\frac{n!}{e}-D_n\right|<\frac{1}{2}
\]
证明如下
拉格朗日余项：
\[f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)
\]
其中\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)，\(\varepsilon\)在\(x\)和\(x_0\)形成的开区间之间，\(R_n(x)\)被称为拉格朗日余项
令\(x_0=0\)，\(x=-1\)，\(f(x)=e^x\)
所以
\[e^{-1}-\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}=R_n(-1)=\frac{e^\varepsilon}{(n+1)!}(-1)^{n+1}
\]
其中\(\varepsilon\in(-1,0)\)
所以
\[\left|\frac{n!}{e}-D_n\right|=n!\left|e^{-1}-\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}\right|=\frac{n!e^\varepsilon}{(n+1)!}<\frac{n!}{(n+1)!}\le\frac{1}{2}
\]
得出结论：\(n!/e\)四舍五入后就是\(D_n\)
