数据结构之算法

一、算法定义：

如今普遍认可的对算法的定义是：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

因此，为了解决某个或某类问题，需要把指令表示成一定的操作序列，操作序列包括一组操作，每个操作都完成特定的功能，这就是算法了。

二、算法的特性：

（1）输入和输出

算法具有零个或者多个输入，并且算法至少有一个或多个输出。

（2）有穷性

有穷性是指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限的循环，并且每一个步骤在可接受的时间完成。

（3）确定性

算法的每一个步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

（4）可行性

可行性是指算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

三、算法设计的要求：

（1）正确性

算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

但是，“正确”通常在用法上有很大的差别，大体上可以分为四个层次：第一个层次是算法程序没有语法错误，第二个是算法程序对于合法的输入

数据能够产生满足要求的输出结果。第三个是算法程序对于非法的输入数据能够得到满足规格说明的结果。第四个算法程序对于精心选择，甚至

是***难的测试数据都有满足要求的输出结果。通常第4层是最困难的，代价昂贵，因此我们把第三层作为一个算法是否正确的标准。

（2）可读性

算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

（3）健壮性

健壮性是指当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。因此，一个好的算法还能应该对输入数据不合法

的情况做合适的处理。

（4）时间效率高和存储量低

时间效率是指算法的执行时间，存储量需求是指算法在执行过程中需要的最大存储空间。算法设计应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

四、算法效率的度量方法

（1）事后统计方法

这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编程的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

（2）事前分析估算方法：

该方法是指在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

五、函数的渐进增长

假设算法的输入规模都是n，我们观察以下几个算法：

会发现随着n的增加，算法A比算法B越来越好。此时，我们给出这样的定义：

函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，是的对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐快于g(n)。

另外，通过下面的两外一个表格我们可以发现：

当n>3后，算法C的优势越来越大于算法D，后面的常数对于结果没有什么影响。在观察发现，算法C‘的次数随着n的增长，还世远远小于算法D‘，这说明与

最高次项相乘的常数并不重要。

在观察下面的第三个例子：

我们可以发现，最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会变得增长的特别的快。

由上面这个三个例子，我们可以得出这样一个结论：判断一个算法的效率时，函数中的常数和其它次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。

五、算法时间复杂度

（1）算法时间复杂度定义：

在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随着n的变化情况并确定T（n）的数量级。算法时间复杂度，也就是算法的时间

度量，记作：T（n）=O（f（n）），他表示随着问题规模n的增长，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度，

其中f（n）是问题规模n的某个函数。

这样用大写O（）来体现算法时间复杂度的激发，我们称之为大O记法。

（2）推导大O阶方法

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

（3）常见的时间复杂度

常见的时间复杂度所消耗的时间从小到大一次是：

六、算法的空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：S（n）=O（f（n）），其中，n为问题的规模，f（n）为语句关于n所占

存储空间的函数。通常，我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求使用“空间复杂度”值空间需求。当不用限定词的使用“复杂度”时，通常都是指时间复杂度。