位运算在算法中的应用

快速幂

问题：

给定整数 $a,b,p$ 计算 $a^b\mathrm{mod}p$ $(1\le a,b,p\le {10}^9)$

分析：

我们可以将 $b$ 转换成二进制：

$$b=c_0{2}^0+c_1{2}^1+c_2{2}^2+...+c_{k-1}{2}^{k-1}$$

其中 $c_n$ 的取值为 $0$ 或者 $1$

那么有：

$$a^b=a^{c_0{2}^0+c_1{2}^1+c_2{2}^2+...+c_{k-1}{2}^{k-1}}$$

$$a^b=a^{c_0{2}^0}{a}^{c_1{2}^1}{a}^{c_2{2}^2}...a^{c_{k-1}{2}^{k-1}}$$

并且我们知道

$$a^{2^n}=(a^{2^{n-1}}{)}^2$$

故我们只需要递推即可得出每个乘积项，当 $c_n=1$ 时累积到答案中即可。

代码：

int quickPower(int a, int b, int p) {
    int ans = 1 % p;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = (long long)ans * a % p;
        b >>= 1;
        a = (long long)a * a % p;
    }
    return ans;
}

例题:

89. a^b - AcWing题库

龟速乘

问题：

给定整数 $a,b,p$ 计算 $a\times b\mathrm{mod}p$ $(1\le a,b,p\le {10}^{18})$

分析：

由于long long只能存 $9\times {10}^{18}$ 这么大的数，所以我们要想办法让计算不溢出。根据快速幂的思想，我们可以把 $b$ 分解成二进制

$$b=c_0{2}^0+c_1{2}^1+c_2{2}^2+...+c_{k-1}{2}^{k-1}$$

然后有

$$a\times b=c_{0}a{2}^0+c_{1}a{2}^1+c_{2}a{2}^2+...+c_{k-1}a{2}^{k-1}$$

又因为

$$a{2}^n=(a{2}^{n-1})\times 2$$

如果我们得到 $a{2}^{n-1}\mathrm{mod}p$ ，然后计算 $(a{2}^{n-1})\times 2\mathrm{mod}p$ 可以保证每一步都不溢出

同样当 $c_i=1$ 时将乘积项累加到答案中即可

代码：

long long mul(long long a, long long b, long long p) {
    long long ans = 0;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
        a = (a * 2) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

例题：

90. 64位整数乘法 - AcWing题库

二进制状态压缩

将一个长度为 $m$ 的 bool 数组用一个二进制整数表示并存储。

利用位运算实现原 bool 数组中对应下标元素的存取。

操作	运算
取出 $n$ 的第 $k$ 位	(n>>k) & 1
取出 $n$ 的第 $0$ ~ $k-1$ 位（后 $k$ 位）	n & ((1<<k)-1)
将第 $k$ 位取反	n xor (1<<k)
将第 $k$ 位赋值 $1$	n | (1<<k)
将第 $k$ 位赋值 $0$	n & (~(1<<k))

位运算的一个重要特点：在二进制表示下不进位，参与位运算的各个二进制位之间是独立无关的

例题：

998. 起床困难综合症 - AcWing题库

成对变换

对于非负整数 $n$ ，我们发现：

当 $n$ 为奇数时，$nxor1=n-1$

当 $n$ 为偶数时，$nxor1=n+1$

因此，0和1、2和3、4和5...都是关于xor 1运算成对变换

常用于邻接表中无向边的存取

lowbit运算

lowbit(n) 定义为非负整数 $n$ 在二进制表示下“最低位的 $1$ 及其后边的所有 $0$”构成的数值。

因为在计算机中 $[-x{]}_{\mathrm{补}}=[x{]}_{\mathrm{补}}\mathrm{按}\mathrm{位}\mathrm{取}\mathrm{反}+1$

所以有

$$lowbit(n)=n\mathrm{\&}(\sim n+1)=n\mathrm{\&}(-n)$$

通过 lowbit 运算，我们可以找到整数二进制表示下所有是 $1$ 的位：

迭代计算 $n=n-lowbit(n)$ 直到 $n$ 为 $0$，减掉的数就是所有二进制是 $1$ 的位与后面的 $0$ 构成的数值，然后通过取对数 $lo{g}_{2}x$ 即可得出位置。

这里求对数可以预处理，建立一个长度为 $37$ 的数组 $H$ ，令 $H[2^k\mathrm{mod}37]=k$ ，有一个小技巧，$\mathrm{\forall }k\in [0,35],2^k\mathrm{mod}37$ 互不相等。

int H[37];
for (int i=0;i<37;i++) H[(1ll << i) % 37] = i;
while (cin >> n) {
    while (n > 0) {
        cout << H[(n & -n) % 37];
        n -= (n & -n);
    }
}

lowbit也是树状数组的一个基本运算