ST表

ST表（Sparse Table 稀疏表）

用处：

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可以用来解决RMQ（区间最值）等可重复贡献问题^[1]。

引入：

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对于RMQ问题，我们通常有这几种方法处理：

1. 朴素（即搜索）$O(nm)$

2. 打表 $O(n^2)$

3. ST表 $O(nlogn)$

4. 线段树 $O(nlogn)$

我们比较容易想到用打表的方法，也就是比较简单的dp，像这样：
定义 $ans[i][j]$ 表示区间 $[i,j]$ 的最值

$\{\begin{array}{l}ans[i][j]=a[i],i=j\\ \\ ans[i][j]=max(ans[i][j-1],a[j])\end{array}$

可是这样的空间复杂度 $O(n^2)$ 时间复杂度 $O(n^2)$ 不是很令人满意，所以我们考虑用ST表来处理静态$(\mathrm{offline})$的RMQ问题。

分析：

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要求解一个区间的最值，ST表用了类似区间dp的方法。
$dp[i][j]$ 表示的是从 $i$ 开始，长度为 $2^j$ 的区间中的最值。也就是区间 $[i,2^j+i-1]$ 的最值。

对于每一次询问，我们可以通过 $l$ 和 $r$ 算得区间的长度 $len$ ，然后计算 $$j=\lfloor lo{g}_{2}len\rfloor$$ 最大值就是 $$max(dp[l][j],dp[r-2^j+1][j])$$
就像这样：

就是在这两段有重叠部分的区间取其中的最大值，重叠并不会影响 $[l,r]$ 区间的最大值。

预处理：

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首先，当区间长度为0时，区间的最值就是区间端点的值。即 $dp[i][0]=a[i]$

然后开始类似区间dp的处理方法。

先枚举区间长度，再枚举区间端点。

$$dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+2^{j-1}][j-1])$$

这里的 $j-1$ 相当于将区间对半分，整个的最值等于左边和右边取最值。
代码：

for (int j = 1; j <= log2(n); j++)
    for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++)
        dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);

查询：

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和分析中说的一样
代码：

int query(int l, int r)
{
    int j = (int)log2(r - l + 1);
    return max(dp[l][j], dp[r - (1 << j) + 1][j]);
}

例题：

• 洛谷 P3865 【模板】ST 表

模板代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
const int log2N = 17; //这是计算得到的log2(N)
int dp[N][log2N]; //dp[i][j] 表示左端点为 i 区间长度为 2^j 的区间中的最大值，即区间[i,i+2^j-1]
int query(int l, int r)
{
    int t = r - l + 1;
    int j = (int)log2(t);
    return max(dp[l][j], dp[r - (1 << j) + 1][j]);
}
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &dp[i][0]);
    for (int j = 1; j <= log2(n); j++)
        for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++)
            dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);

    int l, r;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", query(l - 1, r - 1));
    }
}

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1. 可重复贡献问题
   
   我们要查询一块区域 $A$ 内的元素性质, 可以将该区域 用两块区域 $B$ $C$ 来替代(这两个区域, 可以包含相同元素,但不可以 包含不属于 $A$ 的元素) 即: $B\cup C=A,B\cap C\in A$
   通过这个两个子区域的值, 可以推出 $A$ 的值。
   
   换句话说, 假如我们要求的值 函数为: $F(S)$ (表示 $S$ 这个集合里所有元素的结果)那么必须要满足: $F(a,b,c,d)=F(F(a,b,c),F(b,c,d))$
   
   比如：$RMQ$ 问题、区间 $GCD$ 、区间&操作、区间|操作等。 ↩︎