区间dp

例题：石子合并

设有 $N$ 堆石子排成一排，其编号为 $1，2，3，\dots ，N$。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 $N$ 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 $4$ 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 $1、2$ 堆，代价为 $4$，得到 4 5 2， 又合并 $1，2$ 堆，代价为 $9$，得到 9 2 ，再合并得到 $11$，总代价为 $4+9+11=24$；

如果第二步是先合并 $\mathrm{堆}，\mathrm{则}\mathrm{代}\mathrm{价}\mathrm{为}$，得到 4 7，最后一次合并代价为 $11$，总代价为 $4+7+11=22$。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 $N$ 表示石子的堆数 $N$。

第二行 $N$ 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 $1000$)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

$1\le N\le 300$

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

22

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动态规划 $O(n^3)$

分析：

每次合并只能合并相邻的石子，所以最后一次合并一定是左边连续的一部分和右边连续的一部分进行合并。

状态表示：

f[i][j] 表示将 $i$ 到 $j$ 这一段的石子合并成一堆的方案中，代价的最小值。

状态计算：

1. $i<j$ 时， $f[i][j]=\stackrel{k\in [i,j-1]}{min}f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1]$ ($s$ 是前缀和数组，$s[j]-s[i-1]$ 是将左右两堆石子合并的代价)

2. $i=j$ 时， $f[i][j]=0$ (合并一堆石子的代价为0)

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 310;
int s[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n;
    cin >>n;
    for (int i=1;i<=n;i++) cin >>s[i], s[i] += s[i-1];
    for (int len=2;len<=n;len++)
    {
        for (int i=1;i+len-1<=n;i++)
        {
            int j = i + len - 1;
            f[i][j] = 1e9;
            for (int k=i;k<j;k++)
            {
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] + s[j] - s[i-1]);
            }
        }
    }
    cout <<f[1][n];
}

原题链接：

• 石子合并

区间dp常用模板

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区间dp问题枚举时，第一维通常是枚举区间长度，并且一般 $len=1$ 时要初始化， $len=2$ 时开始枚举； 第二维枚举区间左右端点， $i$ 作为左端点， $i+len-1$ 作为右端点。

for (int len = 1; len <= n; len++) // 区间长度
{
    for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) // 枚举起点
    {
        int j = i + len - 1; // 区间终点
        if (len == 1)
        {
            f[i][j] = 初始值;
            continue;
        }

        for (int k = i; k < j; k++) // 枚举分割点，构造状态转移方程
        {
            f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] + w[i][j]);
        }
    }
}