雷达原理_Part2

6 目标距离测量

目标到雷达的距离$R$可以通过测量电波往返一次所需时间$t_R$得到：

$$R={\displaystyle \frac{1}{2}}c{t}_R$$

时间$t_R$就是回波相对于发射信号的延迟，因此，目标距离测量就是要精确测量延迟时$t_R$。根据雷达发射信号的不同，测定延迟时间通常可以采用：

• 脉冲法
• 频率法
• 相位法

6.1 脉冲法测距

6.1.1 基本原理

有两种定义回波到达时间$t_R$的方法：一种是以目标回波脉冲的前沿作为它的到达时刻；另一种是以回波脉冲的中心(或最大值)作为它的到达时刻。

如果要测定目标回波的前沿，由于实际的回波信号不是矩形脉冲而近似为钟形，此时可将回波信号与一比较电平相比较，把回波信号穿越比较电平的时刻作为其前沿。用电压比较器是不难实现上述要求的。用脉冲前沿作为达时刻的缺点是容易受回波大小及噪声的影响。

后面讨论的自动距离跟踪系统通常采用回波脉冲中心作为到达时刻。回波脉冲中心估计如下图所示。

当微分器的输出经过零值时便产生一个窄脉冲，该脉冲出现的时间正好是回波视频脉冲的最大值，通常也是回波脉冲的中心。

6.1.2 影响测距精度的因素

根据公式：$R={\displaystyle \frac{1}{2}}c{t}_R$，可知$R$与$c$、$t_R$有关，分析精度通常使用高等数学里面的全微分的概念。对上式做全微分得：

$$\text{d}R={\displaystyle \frac{1}{2}}c\text{d}{t}_R+{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}_R\text{d}c$$

用增量代替微分，可得到测距误差为：

$$\mathrm{\Delta }R={\displaystyle \frac{c}{2}}\mathrm{\Delta }{t}_R+{\displaystyle \frac{R}{c}}\mathrm{\Delta }c$$

其中，$\mathrm{\Delta }c$为电波传播速度平均值的误差，$\mathrm{\Delta }{t}_R$为测量目标回波迟延时间的误差。

（1）时间差的影响

（2）电波传播速度变化的影响

（3）大气折射的影响

（4）测读方法的影响

6.1.3 距离分辨率和测距范围

(一) 距离分辨力

(1) 距离分辨力(或距离分辨率)概述

距离分辨力(或距离分辨率)是指同一方向上两个大小相等点目标之间的最小可区分距离。用$\mathrm{\Delta }R$表示。

$$\mathrm{\Delta }R={\displaystyle \frac{1}{2}}c(\tau +{\displaystyle \frac{d}{v_N}})$$

其中，$d$为光点直径(单位：m，指的是显示器上指示目标的光点的直径)，$v_N$为扫掠速度(单位：m/s)。

我们希望距离分辨力$\mathrm{\Delta }R$越小越好。根据上面的公式可知，这时对应的脉宽$\tau$就应该越小，$\tau$小之后会带来什么问题呢？

根据能量表示的雷达方程，$E=P_{\text{t}}\tau$，如果$\tau$过小，信号能量就小，雷达最大作用距离就会下降。这就是说存在距离分辨力和最大作用距离的矛盾问题。该怎么解决这个矛盾呢？

(2) 脉冲压缩波形

发射脉冲压缩波形，比如线性调频信号，接收时对回波进行匹配滤波。匹配滤波除了能提高信号的输出信噪比，还可以完成脉冲压缩的功能。这就可以解决距离分辨力和最大作用距离的矛盾问题。

如果不做特殊处理，两个回波信号在时间轴上就叠加到了一起，无法区分开两个目标。如果将两个回波信号通过匹配滤波器，就可以得到如图所示的波形。匹配滤波器是一个线性系统，根据线性系统的叠加性，将两个回波信号叠加之后通过线性系统的输出，可以看成回波1通过线性系统的输出加上回波2通过线性系统的输出。

本来无法区分的两个目标，经过匹配滤波器之后变得可以区分，也就是说匹配滤波器有提高距离分辨力的作用。

(3) 提高之后的距离分辨力

这就跟图中两个辛克函数形状波形的宽度有关。如果这两个波形再靠近，直到相互交叠，目标也就无法区分开了。所以，距离分辨力也不说可以无限制的提升。

对于$\text{sinc}$函数，我们往往采用$-3\text{dB}$宽度来表示其宽度。但是，$-3\text{dB}$的点往往不太规整，而$-4\text{dB}$的点反而比较规整，正好是${\displaystyle \frac{1}{B}}$。所以，这里采用$-4\text{dB}$的点的宽度来表示$\text{sinc}$函数的宽度。

对于脉压雷达：

$$\mathrm{\Delta }R={\displaystyle \frac{1}{2}}c\tau ={\displaystyle \frac{1}{2}}c{\displaystyle \frac{1}{B}}={\displaystyle \frac{c}{2B}}$$

这里的${\displaystyle \frac{1}{B}}$相当于前面的$\tau$。$B$为线性调频信号带宽。

线性调频信号：

$$s(t)=A\cos (2\pi f_{0}t+\pi \mu t^2+{\varphi }_0)$$

对于频率：

$$f(t)={\displaystyle \frac{\text{d}\varphi }{2\pi \text{ d}t}}=f_0+\mu t,0\le t\le \tau$$

线性调频信号带宽为：

$$B=\mathrm{信}\mathrm{号}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{频}\mathrm{率}-\mathrm{信}\mathrm{号}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{频}\mathrm{率}=\mu \tau$$

对于普通雷达，$\tau$增大，$\mathrm{\Delta }R$增大；对于线性调频信号，$\tau$增大，$B$增大，$\mathrm{\Delta }R$减小。

匹配滤波对于普通雷达而言，可以达到输出信噪比最大的作用。对于脉压雷达，可以提高距离分辨力。

关于$-3\text{dB}$的说明：在角度、时间和频域三个维度都有$-3\text{dB}$的说法。$-3\text{dB}$衡量的是最大值往下落$3\text{dB}$点位置之间的间隔。
a）若间隔单位为秒，就代表时间维度上的$-3\text{dB}$，比如这一节中线性调频信号通过匹配滤波器后的波形；
b）若间隔单位为度，就代表角度维度上的$-3\text{dB}$，主要用来衡量天线波束宽度；
c）若间隔单位为赫兹，就代表频率维度上的$-3\text{dB}$，比如门函数的频谱。

匹配滤波器及其在雷达信号处理中的应用；LFM信号脉冲压缩的小探究；脉冲压缩-匹配滤波的自己理解与参考资料；脉冲压缩处理；相干探测信号脉冲压缩与匹配滤波技术；拙见：谈谈 雷达信号处理之脉冲压缩；脉冲压缩(匹配滤波)；什么是脉冲压缩？ - 知乎。

雷达原理与系统 第十六讲 匹配滤波器 - B站；雷达原理与系统 第十七讲 匹配滤波器的应用。

(二) 最大无模糊测距范围

测距范围包括最小可测距离和最大单值测距范围。所谓最小可测距离，是指雷达能测量的最近目标的距离。

收发共用天线的雷达系统中，在发射脉冲宽度$\tau$时间内，接收机和天线馈线系统间是“断开”的，不能正常接收目标回波，发射脉冲过去后天线收发开关恢复到接收状态，也需要一段时间$t_0$。也就是说在$\tau +t_0$这段时间内，由于不能正常接收回波信号，雷达是很难进行测距的。因此，雷达的最小可测距离为：

$$R_{min}={\displaystyle \frac{c}{2}}(\tau +t_0)$$

其中，$t_0$收发转换时间。

雷达的最大无模糊距离由其脉冲重复周期$T_{\text{r}}$决定：

$$R_{max}={\displaystyle \frac{1}{2}}c{T}_{\text{r}}$$

注意这里的$R_{max}$指最大无模糊距离(不是雷达最大作用距离)。想要增大最大无模糊距离，可以增大$T_{\text{r}}$。

根据上一章的结论，积累脉冲数：

$$M={\displaystyle \frac{{\theta }_{0.5}}{\omega }}\times {\displaystyle \frac{1}{T_{\text{r}}}}$$

如果$T_{\text{r}}$增大，积累的回波数$M$就会减小。积累脉冲数减少，雷达探测距离就会下降(相参积累之后，最大作用距离变为$R_{max}\sqrt[4]{M}$，这个$R_{max}$表示雷达最大作用距离)。这里就存在矛盾的地方。

雷达探测目标，首先应该考虑达到最大作用距离，这时$T_{\text{r}}$就确定下来了。再来考虑是否满足最大无模糊距离。如果不满足，就需要解模糊。

$$R={\displaystyle \frac{1}{2}}c{t}_{\text{R}}={\displaystyle \frac{1}{2}}c(m{T}_{\text{r}}+t_{\text{r}}),0\le t_{\text{r}}\le T_{\text{r}}$$

其中，$R$表示目标到雷达的距离；$m$为假设跨了$m$个周期；$t_{\text{r}}$回波离它最近主波之间的时间差。

(三) 距离模糊的判决方法

重频参差(两重频)如下图所示：

$$\begin{array}{rl}{t}_{\text{R}}& =t_1+n_1\frac{1}{f_{\text{r1}}},0\le t_1\le T_{\text{r1}}\\ & =t_2+n_2\frac{1}{f_{\text{r2}}},0\le t_2\le T_{\text{r2}}\end{array}$$

其中，$n_1,n_2$对应两组发射脉冲的跨周期数。

$$f_{\text{r1}}=(N+a)f_{\text{r}}$$

$$f_{\text{r2}}=N{f}_{\text{r}}$$

一般取$a=1$，上图中$N=4$。$f_{\text{r1}}$和$f_{\text{r2}}$可以看成是一个基础频率$f_{\text{r}}$上的一个倍频量。所以有：

$${\displaystyle \frac{f_{\text{r1}}}{f_{\text{r2}}}}={\displaystyle \frac{N+1}{N}}$$

根据公式：

$$t_{\text{R}}=t_1+n_1{\displaystyle \frac{1}{f_{\text{r1}}}}=t_2+n_2{\displaystyle \frac{1}{f_{\text{r2}}}}$$

当$a=1$时，$n_1$和$n_2$的关系可能有两种，即$n_1=n_2$和$n_1=n_2+1$，下面分这两种情况进行讨论：

• $n_1=n_2$，可得：$t_{\text{R}}={\displaystyle \frac{t_1{f}_{\text{r1}}-t_2{f}_{\text{r2}}}{f_{\text{r1}}-f_{\text{r2}}}}$

• $n_1=n_2+1$，可得：$t_{\text{R}}={\displaystyle \frac{t_1{f}_{\text{r1}}-t_2{f}_{\text{r2}}+1}{f_{\text{r1}}-f_{\text{r2}}}}$

如果按前式算出$t_{\text{R}}$为负值，则应采用后式。

重频参差的最大无模糊距离：$R_{max}={\displaystyle \frac{1}{2}}cX$($X$为$T_{\text{r1}}$和$T_{\text{r2}}$的最小公倍数)。

6.2 调频法测距

调频法测距可以用在连续波雷达中，也可以用于脉冲雷达。

调频连续波雷达的组成框图如下所示。发射机产生连续高频等幅波，其频率在时间上按三角形规律或按正弦规律变化，目标回波和发射机直接耦合过来的信号加到接收机混频器内。在无线电波传播到目标并返回天线的这段时间内，发射机频率较之回波频率己有了变化，因此在混频器输出端便出现了差频电压。后者经放大、限幅后加到频率计上。差频电压的频率实际上就与目标距离有关。

下面说明三角形波调制测距的数学原理。

发射频率按周期性三角波形的规律变化，如下图所示。

• 正程

发射频率：$f(t)=f_0+\mu t$，对应发射信号的时域表示：

$$s_{\text{t}}(t)=A\cos (2\pi f_{0}t+\pi \mu t^2)$$

对应接收信号的时域表示：

$$\begin{array}{rl}{s}_{\text{r}}(t)& =k{s}_{\text{t}}(t-t_{\text{r}})\\ & =A\cos [2\pi f_0(t-{\displaystyle \frac{2(R_0-vt)}{c}})+\pi \mu (t-{\displaystyle \frac{2(R_0-vt)}{c}}{)}^2]\end{array}$$

其中，$v$为目标相对于雷达的径向速度，$R_0$为目标到雷达的初始距离。所以，接收信号的频率可以表示为：

$$f_{\text{r}}=f_0+{\displaystyle \frac{2v}{\lambda }}+\mu (t+{\displaystyle \frac{2R_0}{c}})(1+{\displaystyle \frac{2v}{c}})$$

其中，${\displaystyle \frac{2v}{\lambda }}=f_{\text{d}}$为多普勒频率，由于$c>>v$，故${\displaystyle \frac{2v}{c}}$可舍去：

$$f_{\text{r}}=f_0+f_{\text{d}}+\mu (t-{\displaystyle \frac{2R_0}{c}})$$

假设目标静止不动，即$f_{\text{d}}=0$，上式可以写成：

$$f_{\text{r}}=f_0+\mu (t-{\displaystyle \frac{2R_0}{c}})$$

从上式可以看出，接收信号的频率实际上就是将发射信号的频率迟延${\displaystyle \frac{2R_0}{c}}$。

• 逆程

发射频率：

$$f_{\text{r}}=f_0-\mu t$$

接收频率：

$$f_{\text{r}}=f_0+f_{\text{d}}-\mu (t-{\displaystyle \frac{2R_0}{c}})$$

发射信号和接收信号频率变化如下图所示。

• 求差频的平均值

正程频率差，用$f_{{\text{b}}^{+}}$表示：

$$f_{{\text{b}}^{+}}=f_{\text{t}}-f_{\text{r}}={\displaystyle \frac{2\mu R_0}{c}}-f_{\text{d}}$$

逆程频率差，用$f_{{\text{b}}^{-}}$表示：

$$f_{{\text{b}}^{-}}=f_{\text{r}}-f_{\text{t}}={\displaystyle \frac{2\mu R_0}{c}}+f_{\text{d}}$$

频率计测得的差频的平均值，用$f_{\text{bav}}$表示：

$$f_{\text{bav}}={\displaystyle \frac{f_{{\text{b}}^{+}}+f_{{\text{b}}^{-}}}{2}}={\displaystyle \frac{2\mu R_0}{c}}$$

因此，可得：

$$R_0={\displaystyle \frac{c{f}_{\text{bav}}}{2\mu }}$$

频率计测频的一种方法:

假设能够测频的范围为$[f_1,f_2]$。一种方法就是在这个范围内设计很多带宽相等的小滤波器，每个小滤波器都有一个中心频率。将差频得到的信号，送入如下的滤波器组。假设滤波器 A 有输出，其中心频率为图中黑点所示，真实信号频率为图中红点所示。我们就将滤波器 A 的中心频率作为该信号频率的测量值。如果滤波器带宽越窄，测频精度就越高。

6.3 距离跟踪的原理

测距时需要对目标距离进行连续的测量称为距离跟踪。

6.3.1 人工距离跟踪

主要采用的方法是锯齿电压波法和相位调制法。

6.3.2 自动距离跟踪

(一) 系统组成及功能

自动跟踪系统主要包括三部分：

• 时间鉴别器

  • 时间鉴别器的作用是将跟踪脉冲与回波脉冲在时间上加以比较，鉴别出它们之间的差$\mathrm{\Delta }t$。其数学模型为：$u_{ϵ}=K_1(t-t^{\prime })$，$t$表示回波脉冲相对于基准发射脉冲的延迟时间。

• 控制器

  • 数学模型：$E={\displaystyle \frac{1}{T}}{\displaystyle \int u_{ϵ}\text{ d}t}$

• 跟踪脉冲产生器

  • 数学模型：$t^{\prime }=K_{3}E$

(二) 自动距离跟踪的步骤

• 搜索过程
• 跟踪过程

7 角度测量

7.1 概述

7.1.1 测角方法

• 振幅法
• 相位法

7.1.2 天线方向图

天线对于不同方向电磁波信号的响应。

$$F(\theta )=|F(\theta )|{\text{e}}^{\text{j}\varphi (\theta )}$$

其中，$|F(\theta )|$天线方向图函数的振幅响应；$\varphi (\theta )$天线方向图函数的相位响应。

(一) 天线方向图的一般性质

• 极大值：$F(0)\ge F(\theta ),\mathrm{\forall }\theta \in [-\pi ,\pi ]$；
• 对称性：$F(\theta )=F(-\theta )$；
• 主瓣单调性：$F({\theta }_1)>F({\theta }_2),|{\theta }_1|<|{\theta }_2|$；
• 电压归一化方向图：${\displaystyle \frac{F({\theta }_{0.5}/2)}{F(0)}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

(二) 天线方向图典型函数

（1）余弦；（2）高斯；（3）辛克函数。

7.2 测角方法

7.2.1 相位法

利用多个天线所接收回波信号之间的相位差进行测角。

(一) 两天线相位法测角原理

两天线相位法测角示意图如下所示。

假设两天线之间的距离$d$，远远小于目标到振源的距离，则可以认为到达接收点的目标所反射的电磁波近似为平面波。

目标到$A$、$B$两点的距离相等，回波到$A$、$B$的相位也相等，回波到接收点的距离相差$d\sin (\theta )$，对应相位假设为$\varphi$。一个波长对应相位差为$2\pi$，那么，$d\sin (\theta )$长的距离对应的相位$\varphi$为：

$$\varphi ={\displaystyle \frac{2\pi d\sin (\theta )}{\lambda }}$$

所以，如果用相位计进行比相，测出其相位差$\varphi$，就可以求得$\theta$：

$$\theta =\arcsin ({\displaystyle \frac{\varphi \lambda }{2\pi d}})$$

该值为相对于法线的夹角，需要根据$\varphi$的符号确定$\theta$到底在法线的左边还是右边。

当$\varphi \in [-\pi ,\pi ]$时，$\theta$取值无模糊。$\theta$对应的取值范围$[-{\theta }_{max},{\theta }_{max}]$，将$\pi$带入公式，可得：

$${\theta }_{max}=\arcsin ({\displaystyle \frac{\lambda }{2d}})$$

也就是说，要想无模糊的测角，测角的范围应该在$[-{\theta }_{max},{\theta }_{max}]$之间。我们当然希望无模糊测角的范围越大越好，从上式可知，只要${\displaystyle \frac{d}{\lambda }}$越小，对应的${\theta }_{max}$就越大。$d$就是天线之间的距离，称之为(短)基线。短基线保证大的无模糊测角范围。也就是说，如果基线长度$d$比较短的话，无模糊测角范围就比较大；如果基线长度$d$比较长的话，无模糊测角范围就比较小。

(二) 测角误差分析与多值性

对公式：

$$\varphi ={\displaystyle \frac{2\pi d\sin (\theta )}{\lambda }}$$

两边同时取微分：

$$\text{d}\varphi ={\displaystyle \frac{2\pi d\cos (\theta )}{\lambda }}\text{d}\theta$$

可得：

$$\text{d}\theta ={\displaystyle \frac{\lambda }{2\pi d\cos (\theta )}}\text{d}\varphi$$

从式子中可以看出，采用读数精度高($\text{d}\varphi$小)的相位计(相位比较器或鉴相器)，或增大${\displaystyle \frac{d}{\lambda }}$的值(长基线保证高的测角精度)，均可以提高测角精度。

还可以得出：

• 当$\theta =0^{\circ }$时，即目标处在天线法线方向时，测角误差$\text{d}\theta$最小；

• 当$\theta =\pm {90}^{\circ }$时，测角误差$\text{d}\theta$最大。

(三) 多基线测角

短基线保证最大无模糊测角范围；长基线保证高的测角精度，但无模糊测角范围小。所以要采用多基线测角。

1和2之间的间距$d_{12}$比较短，根据${\theta }_{max}=\arcsin ({\displaystyle \frac{\lambda }{2d}})$可知，${\theta }_{max}$就比较大，因此，短基线可以保证比较大的无模糊测角范围。长基线$d_{13}$保证高的测角精度。

$${\varphi }_{12}={\displaystyle \frac{2\pi d_{12}\sin (\theta )}{\lambda }}$$

$${\varphi }_{13}={\displaystyle \frac{2\pi d_{13}\sin (\theta )}{\lambda }}$$

要使${\varphi }_{12}$无模糊测角，${\varphi }_{12}$就不能超过$2\pi$。因此，${\varphi }_{12}$就是鉴相器能测出来的值。对于${\varphi }_{13}$来讲，因为$d_{13}$比较大，所以${\varphi }_{13}$一般大于$2\pi$。

$${\varphi }_{13}=2\pi N+\varphi$$

其中，$\varphi$是相位计测出来的值。

长基线$d_{13}$算出来的$\theta$精度更高，所以有：

$$\theta =\arcsin ({\displaystyle \frac{{\varphi }_{13}\lambda }{2\pi d_{13}}})$$

式中，$\lambda$和$d_{13}$已知。因为只能测得$\varphi$，而$N$不知道，所以${\varphi }_{13}$未知。只要求得$N$，就可以求出${\varphi }_{13}$：

$${\displaystyle \frac{{\varphi }_{13}}{{\varphi }_{12}}}={\displaystyle \frac{d_{13}}{d_{12}}}={\displaystyle \frac{2\pi N+\varphi }{{\varphi }_{12}}}$$

上式两边同时除以$2\pi$，得到：

$${\varphi }_{12}{\displaystyle \frac{d_{13}}{d_{12}}}{\displaystyle \frac{1}{2\pi }}=N+{\displaystyle \frac{\varphi }{2\pi }}$$

式中的$\varphi$是可测量的，其值满足$\varphi <2\pi$。因此，${\displaystyle \frac{\varphi }{2\pi }}<1$。所以：

$$N=\lfloor {\varphi }_{12}{\displaystyle \frac{d_{13}}{d_{12}}}{\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\rfloor$$

根据已知的${\varphi }_{12}$、$d_{13}$、$d_{12}$，可以求出$N$，进而可以得到${\varphi }_{13}=2\pi N+\varphi$。然后就可以求得$\theta$：

$$\theta =\arcsin ({\displaystyle \frac{{\varphi }_{13}\lambda }{2\pi d_{13}}})$$

7.2.2 振幅法

振幅法测角是用天线收到的回波信号幅度值来做角度测量的，该幅度值的变化规律取决于天线方向图以及天线扫描方式。振幅法测角可分为最大信号法和等信号法两大类。

(一) 最大信号法

天线扫描的过程就是雷达天线方向图函数最大值指向不断发生变化的过程。

如果把从扫描起始时刻到扫描结束时刻，雷达收到目标回波的幅度作图，其幅度的变化过程就类似于天线方向图函数的变化过程，开始比较小，然后逐渐增大，到最大值再慢慢减小。最大信号法就是在找幅度变化过程中的极大值所在的位置。

波束宽度、信噪比都会影响最大信号法测角的精度。测角精度如下所示：

$${\delta }_{\theta }={\displaystyle \frac{0.5{\theta }_B}{\sqrt{n{\left({\displaystyle \frac{S}{N}}\right)}_m}}}$$

其中，${\theta }_B$为天线波束宽度，${{\displaystyle \frac{S}{N}}}_m$为中心脉冲的信噪比，$n$为单程半功率点波束宽度内的脉冲数。

(二) 等信号法
等信号法测角釆用两个相同且彼此部分重叠的波束，两个天线方向图交叠处大概在$3\text{dB}$点处。如果目标处在两波束的交叠轴方向，则由两波束收到的信号强度相等，否则一个波束收到的信号强度高于另一个，如图所示。故常常称$OA$为等信号轴。当两个波束收到的回波信号相等时，等信号轴所指方向即为目标方向。

当目标处在$C$、$A$、$B$三点处回波幅度大致如下所示。

设天线电压方向性函数为$F(\theta )$，等信号轴$OA$的指向为${\theta }_0$。

$${\theta }_0-{\theta }_1={\theta }_2-{\theta }_0={\theta }_k$$

其中，${\theta }_k$为${\theta }_0$与波束最大值方向的偏角。波束$1$、$2$的方向性函数可分别写成：

$$F_1(\theta )=F(\theta -{\theta }_1)=F(\theta -{\theta }_0+{\theta }_k)$$

如下图所示。

假设${\theta }_t=\theta -{\theta }_0$为目标与等信号轴的夹角，则有：

$$F_1(\theta )=F({\theta }_t+{\theta }_k)$$

同理，有：

$$F_2(\theta )=F(\theta -{\theta }_2)=F(\theta -{\theta }_0-{\theta }_k)=F({\theta }_t-{\theta }_k)$$

只要求得了${\theta }_k$就得到了$\theta$。

等信号法主要可以分为比幅法与和差法。

(1) 比幅法

根据雷达方程可以算得到达天线口面的回波信号功率，然后开方就可以得到幅度，用$k$表示(到达两个天线的幅度相同)。

波束1收到的回波信号为：$u_1(\theta )=KF({\theta }_t+{\theta }_k)$

波束2收到的回波信号为：$u_2(\theta )=KF({\theta }_t-{\theta }_k)$

比幅法就是将两者相比，得到：

$${\displaystyle \frac{u_1(\theta )}{u_2(\theta )}}={\displaystyle \frac{F({\theta }_t+{\theta }_k)}{F({\theta }_t-{\theta }_k)}}$$

其中，$u_1$和$u_2$是可以测量出来的值；${\theta }_k$为天线方向图最大值与等信号轴夹角，是已知量；$F$这个函数形式也是已知的。只有${\theta }_t$是未知量，因此可以求得。为了计算方便，查找预先制定的表格就可估计出目标偏离${\theta }_0$的数值。

(2) 和差法

和信号为两个天线接收到信号之和，差信号为两个天线接收到信号之差。

差信号：

$$\mathrm{\Delta }({\theta }_t)=u_1(\theta )-u_2(\theta )=K[F({\theta }_t+{\theta }_k)-F({\theta }_t-{\theta }_k)]$$

在${\theta }_0$附近做级数展开，得到：

$$\mathrm{\Delta }({\theta }_t)=2K{\theta }_t{F}^{\prime }({\theta }_0)$$

和信号：

$$\mathrm{\Sigma }({\theta }_t)=u_1(\theta )+u_2(\theta )=K[F({\theta }_t+{\theta }_k)+F({\theta }_t-{\theta }_k)]$$

在${\theta }_0$附近做级数展开，得到：

$$\mathrm{\Sigma }({\theta }_t)=2KF({\theta }_0)$$

将和、差信号相比：

$${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }({\theta }_t)}{\mathrm{\Sigma }({\theta }_t)}}={\displaystyle \frac{{\theta }_t}{F({\theta }_0)}}{F}^{\prime }({\theta }_0)$$

上式中只有${\theta }_t$未知，因此可以求得。

等信号法的实现方法

等信号法中，两个波束可以同时存在，若用两套相同的接收系统同时工作，则称同时波瓣法；两波束也可以交替出现，或只要其中一个波束，使它绕$OA$轴旋转，波束便按时间顺序在$1$、$2$位置交替出现只要用一套接收系统工作，则称为顺序波瓣法。

等信号法的优缺点

• 优点

  • 测角精度比最大信号法高。因为等信号轴附近方向图斜率较大，目标略微偏离等信号轴时，两信号强度变化比较显著；
  • 可以用于角度跟踪。

• 缺点

  • 测角系统比较复杂
  • 等信号轴方向不是方向图的最大值方向，故在发射功率相同的条件下，作用距离帮比最大信号法小。

7.3 自动测角原理和方法

自动测角：就是指角度跟踪，目的是使等信号轴的方向指向目标方向。

自动测角分类：

• 和顺序波瓣法对应的，叫圆锥扫描自动测角系统；
• 和同时波瓣法对应的，叫单脉冲自动测角系统。

比如导弹的导引头，就是一部精密的自动测角的雷达，特别是在末制导阶段(距离目标只有几公里的时候)，导引头开机之后，就是在利用等信号法进行自动测角，不断调整和目标之间的角度去跟踪目标。

7.3.1 圆锥扫描自动测角系统

圆锥扫描波束如下图所示。

垂直于等信号轴的截面，如下图所示。

图中，$\delta$对应前面的${\theta }_k$，即等信号轴与波束最大值方向的偏角；$ϵ$对应前面的${\theta }_t$，即目标与等信号轴的夹角，是自动测角系统想要测量的值。只要$ϵ\ne 0$，就要调整旋转轴的指向，使其指向目标的方向；$\theta$表示目标方向与波束最大值方向的夹角。

接收信号电压振幅大小为

$$U=K{F}^2(\theta )$$

根据雷达方程推导，$K$包含了距离、功率等因素，且为天线最大增益处发射接收是的情况，如果目标与天线最大增益处的夹角为$\theta$，就需要将天线方向图函数考虑进去。$F(\theta )$为电压性天线方向图函数。假设电磁波发射到接收过程中，角度$\theta$没有发生变化，发射有一个$F(\theta )$，接收再乘以一个$F(\theta )$，所以有一个平方项。

根据余弦定理可得：

$$R^2{\theta }^2=R^2{\delta }^2+R^2{ϵ}^2-2R^2\delta ϵ\cos ({\omega }_{s}t-{\varphi }_0)$$

近似可得：

$$\theta =\delta -ϵ\cos ({\omega }_s-{\varphi }_0)$$

将$\theta$带入$U$：

$$U=K{F}^2(\delta -ϵ\cos ({\omega }_s-{\varphi }_0))$$

将上式在$\delta$(固定值)处展开为泰勒级数并忽略高次项，可得：

$$\begin{array}{rl}U& =K[F^2(\delta )-2F(\delta )F^{\prime }(\delta )\cos ({\omega }_{s}t-{\varphi }_0)]\\ & =K{F}^2(\delta )[1-2\frac{F^{\prime }(\delta )}{F(\delta )}ϵ\cos ({\omega }_{s}t-{\varphi }_0)]\\ & =U_0[1+\eta ϵ\cos ({\omega }_{s}t-{\varphi }_0)]\end{array}$$

其中，$U_0=K{F}^2(\delta )$、$\eta =-2{\displaystyle \frac{F^{\prime }(\delta )}{F(\delta )}}$均为常数。

$U$反映的是回波信号的幅度，且随着时间$t$在发生变化。当$ϵ=0$的时候，$U$为一常数，说明此时目标就在旋转轴上，为一等幅信号；$ϵ\ne 0$的时候，$U$为一调幅信号，其波形大致如下所示(假设为脉冲雷达)。

图中红色线条表示信号脉冲，即一个信号的多次回波。真正求信号包络的时候，实际只有蓝色那条线。取出信号包络，消除直流分量，可得：

$$U_0\eta ϵ\cos ({\omega }_{s}t-{\varphi }_0)$$

真正进行角度跟踪，光知道$ϵ$并不能唯一确定目标位置。需要知道方位和俯仰误差两部分，即：

• $U_0\eta ϵ\cos ({\varphi }_0)$
• $U_0\eta ϵ\sin ({\varphi }_0)$

误差电压分解的办法是采用两个相位鉴别器，相位鉴别器的基准电压分别为$\cos ({\omega }_{s}t)$和$\sin ({\omega }_{s}t)$。也就是说将这两项分别与前面的包络项相混频(相乘)，然后过低通滤波器，就可以得到方位和俯仰误差两部分分量。

前面的推导是假设$U_0$为一常数，即$K$为常数，也就是说假设目标是静止不动的。如果目标远离雷达或者向着雷达运动，$K$就会发生变化，不再是一个常数。如果目标向着雷达运动，$K$就会逐渐变大，回波信号如下图所示。

这样的误差信号将使系统的角灵敏度变化，如果不设法消除，将使系统工作性能变坏。因此，必须在接收机里加上自动增益控制(AGC)电路， 用以消除目标距离及目标截面积大小等对输出误差电压幅度的影响，使输出误差电压只取决于误差角而与距离等因素无关。为此，要取出回波信号平均值％,用它去控制接收机增益，使输出电压的平均值保持不变。

如果想要$ϵ$好检测出来，需要调幅波形$\eta ϵ$大一些，即调幅的幅度变化大一些，才有利于检测。如果$\eta$和$ϵ$都很小，那么调幅的幅度就很小，调幅特性就不明显，不利于检测。但是$ϵ$是没有办法控制的，$\eta$是可以控制的。

$$\eta =-2{\displaystyle \frac{F^{\prime }(\delta )}{F(\delta )}}$$

这个值在什么时候比较大呢？在$3\text{dB}$点处。

7.3.2 单脉冲自动测角系统

单脉冲自动测角属于同时波瓣测角法。

(一) 振幅和差式单脉冲工作过程

在一个角平面内，两个相同的波束部分重叠，其交叠方向即为等信号轴。将两个波束同时接收到的回波信号振幅进行比较，即可取得目标在该平面上的角误差信号，然后将此误差信号电压放大变换后加到驱动电机，控制天线向减小误差的方向运动。

和差比较器是单脉冲雷达的重要部件，由它完成和、差处理，形成和差波束。用得较多的是双T接头，如下所示。

(1) 雷达发射过程

发射时，从发射机来的信号加到和差比较器的$\mathrm{\Sigma }$端，$\mathrm{\Delta }$端无输出，$1,2$两端输出同幅同相信号。两个馈源被同相激励并辐射相同的功率，结果两波束在空间各点产生的场强同相相加，形成发射和波束$F_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )$。 $F_1(\theta )$表示1端的电压性天线方向图函数，$F_2(\theta )$表示2端的电压性天线方向图函数，因此有：

$$A{F}_1(\theta )+A{F}_2(\theta )=A(F_1(\theta )+F_2(\theta ))=A{F}_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )$$

(2) 雷达接收过程

双T接头的$1,2$端输入，$\mathrm{\Delta }$端输出差信号，$\mathrm{\Sigma }$端输出和信号。到达$1,2$的回波信号为$K{F}_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )$，振幅用$K$表示，意思是说回波信号相对于发射信号振幅发生了变化。

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }& =K{F}_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )F_2(\theta )-K{F}_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )F_1(\theta )\\ & =K{F}_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )[F_2(\theta )-F_1(\theta )]\\ & =K{F}_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )F_{\mathrm{\Delta }}(\theta )\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Sigma }& =K{F}_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )F_2(\theta )+K{F}_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )F_1(\theta )\\ & =K{F}_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )[F_2(\theta )+F_1(\theta )]\\ & =K{F}_{\mathrm{\Sigma }}^2(\theta )\end{array}$$

(3) 理论分析

假设以0点对称的天线波束函数叫做$F(\theta )$，上图右边为2天线，左边为1天线，两波束相对等信号轴的偏角为$\delta$，那么有：

$$\begin{array}{r}{F}_1(\theta )=F(\theta +\delta )\\ F_2(\theta )=F(\theta -\delta )\end{array}$$

从前面的分析可知，雷达通过和天线方向图将信号发射出去，接收时，得到$\mathrm{\Delta }$和$\mathrm{\Sigma }$信号。我们的目的是想通过$\mathrm{\Delta }$和$\mathrm{\Sigma }$将目标所在位置$\theta$求出来，就达到了自动测角的目的。

$$\begin{array}{r}{F}_{\mathrm{\Sigma }}(\theta )=F(\theta -\delta )+F(\theta +\delta )\\ F_{\mathrm{\Delta }}(\theta )=F(\theta -\delta )-F(\theta +\delta )\end{array}$$

其中，$\mathrm{\Delta }$为已知项，将$F(\theta \pm \delta )$在$\delta$处做泰勒级数展开，忽略高阶项得到：

$$F(\theta \pm \delta )=F(\delta )\pm F^{\prime }(\delta )\theta$$

将$F(\theta \pm \delta )$、$F_{\mathrm{\Sigma }}$、$F_{\mathrm{\Delta }}$带入到$\mathrm{\Sigma }$和$Delta$的表达式中，得到：

$$\mathrm{\Sigma }=4K{F}^2(\delta ),\mathrm{\Delta }=-4KF(\delta )F^{\prime }(\delta )\theta$$

其中，$\mathrm{\Sigma }$、$\mathrm{\Delta }$、$\delta$、$F$函数均为已知项，$K$和$\theta$为未知项，将两式相比得到：

$${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Sigma }}}=-{\displaystyle \frac{F^{\prime }(\delta )}{F(\delta )}}\theta =\eta \theta$$

因此可以得到：

$$\theta ={\displaystyle \frac{1}{\eta }}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Sigma }}}$$

只要收到一个脉冲，就能输出$\mathrm{\Sigma }$信号和$\mathrm{\Delta }$信号，将两者相比就能得到$\theta$。

• $\mathrm{\Sigma }$和$\mathrm{\Delta }$同相，$\theta$就为正；
• $\mathrm{\Sigma }$和$\mathrm{\Delta }$反相，$\theta$就为负。

7.4 天线波束扫描方法

雷达波束通常以一定的方式依次照射给定空域，以进行目标探测和目标坐标测量，即天线波束需要扫描。本节讨论天线波束的扫描方式和方法。

7.4.1 波束形状和扫描方式

不同用途的雷达，其所用的天线波束形状不同，扫描方式也不同。两种常用的基本波束形状为扇形波束和针状波束。

(一) 波束形状

• 扇形波束

  • 扇形波束的水平面和垂直面内的波束宽度有较大差别，也就是说在一个平面上波束窄，另一个平面上波束宽。比较窄的平面保证较高的测角精度和分辨力，比较宽的平面保证比较大的扫描范围。

• 针状波束

  • 针状波束的水平面和垂直面波束宽度都很窄。

(二) 扫描方式

扫描方式是指天线波束以什么样的轨迹变化。

扇形波束，主要扫描方式是圆周扫描和扇扫。

针状波束，根据雷达的不同用途，针状波束的扫描方式很多，包括为螺旋扫描、分行扫描、为锯齿扫描等。

7.4.2 天线波束的扫描方法

实现波束扫描的基本方法有机械性扫描和电扫描两种。

(一) 机械性扫描

利用整个天线系统或其中某一部分的机械运动来实现波束扫描称为机械性扫描。

机械性扫描的优点是简单。其主要缺点是机械运动惯性大，扫描速度不高。

(二) 电扫描

电扫描时，天线反射体、馈源等不必做机械运动，但可以产生最大值指向发生变化的天线方向图。因无机械惯性限制，扫描速度可大大提高，波束控制迅速灵便，故这种方法特别适用于要求波束快速扫描及巨型天线的雷达中。

电扫描的主要缺点是扫描过程中波束宽度将展宽，因而天线增益也要减小，所以扫描的角度范围有一定限制。

电扫描又可分为相位扫描法、频率扫描法、时间延迟法等。

(三) 相位扫描法

在阵列天线上采用控制移相器相移量的方法来改变各阵元的激励相位，从而实现波束的电扫描。这种方法称为相位扫描法，简称相扫法。

移相器：输出信号相位相对于输入信号相位滞后$\varphi$。

7.4.3 相位扫描法

(一) 基本原理

从线阵进行分析。

假设远场到达天线的距离远远大于天线之间的间距，可以认为到达$N$个天线的电磁波方向是平行的。

现在考虑偏离法线$\theta$方向远区某点入射信号的场强，它应为各阵元在接收到的辐射场的矢量和。忽略各阵元到该点距离上的微小差别对振幅的影响，可认为各阵元在该点辐射场的振辐相等，用$E$表示。因为电磁波波长很小，$d\sin (\theta )$的距离对相位的影响很大，所以距离差对相位的影响不能忽略。

$$E(\theta )=E+E{\text{ e}}^{\text{j}2(\mathrm{\Psi }-\varphi )}+\cdots +E{\text{ e}}^{\text{j}(N-1)(\mathrm{\Psi }-\varphi )}=E\sum _{k=0}^{N-1}{\text{ e}}^{\text{j}k(\mathrm{\Psi }-\varphi )}$$

其中，$\varphi$为相邻阵元激励电流相位差，即移相器带来的相位差。$\mathrm{\Psi }={\displaystyle \frac{2\pi d\sin (\theta )}{\lambda }}$为由于波程差引起的相邻阵元辐射场的相位差。

按等比级数求和并运用欧拉公式，可得：

$$E(\theta )=E{\displaystyle \frac{\sin [{\displaystyle \frac{N}{2}}(\mathrm{\Psi }-\varphi )]}{\sin [{\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{\Psi }-\varphi )]}}{\text{ e}}^{\text{ j}\frac{N-1}{2}(\mathrm{\Psi }-\varphi )}$$

因此取模可得：

$$|E(\theta )|=\left|E{\displaystyle \frac{\sin [{\displaystyle \frac{N}{2}}(\mathrm{\Psi }-\varphi )]}{\sin [{\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{\Psi }-\varphi )]}}\right|$$

这个实际上就是天线方向图的幅度响应的式子。但往往我们说天线方向图函数，都是指归一化的天线方向图，也就是在$\theta =0$的时候，天线方向图函数值为1。如果要将上式进行归一化，首先需要求得其最大值，当$\varphi =\mathrm{\Psi }$时，各分量同相相加，场强幅值最大，有：

$$|E(\theta ){|}_{max}=NE$$

故归一化方向性函数为：

$$\begin{array}{rl}F(\theta )& =\frac{|E(\theta )|}{|E(\theta {)}_{max}|}\\ & =\left|\frac{1}{N}\frac{\sin [\frac{N}{2}(\mathrm{\Psi }-\varphi )]}{\sin [\frac{1}{2}(\mathrm{\Psi }-\varphi )]}\right|\\ & =\left|\frac{1}{N}\frac{\sin \left[\frac{N}{2}(\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta -\varphi )\right]}{\sin \left[\frac{1}{2}(\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta -\varphi )\right]}\right|\end{array}$$

波束扫描的本质是天线方向图的最大值指向发生变化。当上式中$\sin$的值取0的时候，分子、分母同时为0，根据洛比达法则$F(\theta )$取得最大值 1 。

即当$\varphi ={\displaystyle \frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }}$时，$F(\theta )=1$，此时对应的偏移角为${\theta }_0$：

$${\theta }_0=\arcsin ({\displaystyle \frac{\varphi \lambda }{2\pi d}})$$

由公式可知，要想改变波束指向角${\theta }_0$，只需要改变$\varphi$即可。也就是说控制移相器的相移量，改变$\varphi$的值，就可改变波束指向角${\theta }_0$，从而形成波束扫描。

(二) 栅瓣问题

将$\varphi$与波束指向${\theta }_0$之间的关系式$\varphi ={\displaystyle \frac{2\pi d\sin {\theta }_0}{\lambda }}$带入$F(\theta )$表达式中，得到：

$$F(\theta )=\left|{\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \frac{\sin [{\displaystyle \frac{\pi Nd}{\lambda }}(\sin \theta -\sin {\theta }_0)]}{\sin [{\displaystyle \frac{\pi d}{\lambda }}(\sin \theta -\sin {\theta }_0)]}}\right|$$

当${\displaystyle \frac{\pi d}{\lambda }}(\sin \theta -\sin {\theta }_0)=0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\cdots$时，上式分子、分母同时为0，由洛必达法则得$F(\theta )=1$，由此可知$F(\theta )$为多瓣状，如下所示。其中，${\displaystyle \frac{\pi d}{\lambda }}(\sin \theta -\sin {\theta }_0)=0$，即$\theta ={\theta }_0$时称为主瓣，其余称为栅瓣。

出现栅瓣将会产生测角多值性，为避免出现\栅瓣，只要保证：

$$|{\displaystyle \frac{\pi d}{\lambda }}(\sin \theta -\sin {\theta }_0)|<\pi ⟹{\displaystyle \frac{d}{\lambda }}<\left|{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta -\sin {\theta }_0}}\right|$$

因$|\sin \theta -\sin {\theta }_0|\le 1+|\sin {\theta }_0|$ ，因此不出现栅瓣的条件可取为：

$${\displaystyle \frac{d}{\lambda }}<{\displaystyle \frac{1}{1+|\sin {\theta }_0|}}$$

当波长$\lambda$取定以后，只要调整阵元间距$d$以满足上式，便不会出现栅瓣。当${\theta }_0=\pm {90}^{\circ }$时，${\displaystyle \frac{d}{\lambda }}<0.5$。也就是说当天线在$\pm {90}^{\circ }$范围内扫描时，只要满足${\displaystyle \frac{d}{\lambda }}<0.5$即可。

当${\theta }_0$增大时，波束宽度也会增加，故波束扫描范围不宜取得过大，一般取${\theta }_0\le {60}^{\circ }$即可，此时${\displaystyle \frac{d}{\lambda }}<0.53$，为避免出现栅瓣，通常选取${\displaystyle \frac{d}{\lambda }}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$。

(三) 波束宽度

归一化的天线方向图函数：

$$F(\theta )=\left|\frac{1}{N}\frac{\sin \left[\frac{N}{2}(\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta -\varphi )\right]}{\sin \left[\frac{1}{2}(\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta -\varphi )\right]}\right|$$

当天线方向图取得最大值时，满足：

$$\varphi ={\displaystyle \frac{2\pi d\sin {\theta }_0}{\lambda }}$$

其中，${\theta }_0$即为天线方向图的最大值指向。

这里的波束宽度还是使用$3\text{dB}$波束宽度来描述。因为这里的$F(\theta )$已经做了归一化，即最大值为1。另外，这里的$F(\theta )$是电压性天线方向函数，因此，$3\text{dB}$波束宽度对应$F(\theta )={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$的点。根据推导可得：

$$\begin{array}{rl}{\theta }_{0.5}& ={\displaystyle \frac{0.886\lambda }{Nd\cos {\theta }_0}}(\mathrm{弧}\mathrm{度})\\ & ={\displaystyle \frac{50.8\lambda }{Nd\cos {\theta }_0}}(\mathrm{度})\end{array}$$

其中，${\theta }_{0.5}$为波束的半功率波束宽度。根据上式可得：

• $N$越大，即阵列个数越多，${\theta }_{0.5}$越小，即波束越窄；
• ${\theta }_{0.5}$与${\theta }_0$有关。当${\theta }_0=0$时，即天线波束指向阵列法线方向时，${\theta }_{0.5}$最小；$|{\theta }_0|$越大，${\theta }_{0.5}$越大，也就是说天线波束最大值指向越偏离阵列法线方向，天线波束越胖，天线增益就越低。

8 运动目标检测及测速

8.1 多普勒效应及应用

8.1.1 多普勒效应

多普勒效应是指当发射源和接收者之间有相对径向运动时，接收到的信号频率将发生变化。

(一) 连续波雷达

对于连续波雷达而言，收发天线是无法共用的。

发射信号：

$$s_{\text{t}}(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )$$

回波信号：

$$s_{\text{r}}(t)=kA\cos ({\omega }_0(t-t_{\text{r}})+\varphi )$$

其中，当目标与雷达之间无相对运动时，$t_{\text{r}}={\displaystyle \frac{2R}{c}}$为回波滞后于发射信号的时间，$R$为目标和雷达之间的距离。

当目标与雷达之间有相对运动时，距离$R$随时间变化。设目标以匀速相对雷达站运动，则在$t$时刻，目标与雷达之间的距离$R(t)$为：

$$R(t)=R_0-v_{\text{r}}t$$

其中，$v_{\text{r}}$为目标相对于雷达的径向速度。所以有：

$$t_{\text{r}}={\displaystyle \frac{2R(t)}{c}}={\displaystyle \frac{2(R_0-v_{\text{r}}t)}{c}}$$

代入$s_{\text{r}}(t)$有：

$$s_{\text{r}}(t)=kA\cos [{\omega }_0(t-\frac{2(R_0-v_{\text{r}}t)}{c})+\varphi ]$$

所以

$$f_{\text{r}}=\frac{1}{2\pi }\frac{\text{d}\mathrm{\Phi }}{\text{d}t}=f_0+f_{\text{d}}=f_0+\frac{2v_r}{\lambda }$$

进一步将$s_{\text{r}}(t)$展开：

$$s_{\text{r}}(t)=kA\cos (2\pi f_{0}t+2\pi f_{\text{d}}t+\varphi -{\varphi }_0)$$

其中，${\varphi }_0={\displaystyle \frac{4\pi R_0}{\lambda }}$。

(二) 脉冲雷达

发射信号：

$$s_{\text{t}}(t)=\sum _{n}A\text{ rect}(t-n{T}_{\text{r}},\tau )\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )$$

其中，

$$\mathrm{rect}(t,\tau )=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le t\le \tau \\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

回波信号：

$$s_r(t)=\sum _{n}kA\mathrm{rect}(t-t_{\text{r}}-n{T}_{\text{r}},\tau )\cos (2\pi f_{0}t+2\pi f_{\text{d}}t+\varphi -{\varphi }_0)$$

8.1.2 多普勒信息的提取

根据前面的分析可知

$$f_{\text{r}}=f_0+f_{\text{d}}⟹f_{\text{d}}=f_{\text{r}}-f_0$$

也就是说，只要设法取得$f_{\text{r}}$和$f_0$的差频，就得到了$f_{\text{d}}$。只要将发射信号$s_{\text{t}}(t)$和回波信号$s_{\text{r}}(t)$进行混频就可以得到$f_{\text{d}}$。这里就需要用到相位检波器。

(一) 连续波雷达

为取出收发信号频率的差频，可以在接收机检波器输入端引入发射信号作为基准电压，在检波器输 出端即可得到收发频率的差频电压，即多普勒频率电压。这时的基准电压通常称为相参(干)电压，而完成差频比较的检波器称为相干检波器。相干检波器就是一种相位检波器。

从数学模型的角度来说，就是将发射信号$s_{\text{t}}(t)$和回波信号$s_{\text{r}}(t)$相乘(混频)，根据三角公式，将会产生一个高频分量和一个低频分量，然后进行低通滤波就可以得到$f_{\text{d}}$。

最后得到的多普勒频率信号为：

$$u_{\text{r}}\cos ({\omega }_{\text{d}}t-{\varphi }_0)$$

(二) 脉冲雷达

利用多普勒效应的脉冲雷达框图及各主要点的波形，如下图所示。

脉冲雷达接收信号：

$$s_{\text{r}}(t)=\sum _{n}kA\mathrm{rect}(t-t_{\text{r}}-n{T}_{\text{r}},\tau )\cos (2\pi f_{0}t+2\pi f_{\text{d}}t+\varphi -{\varphi }_0)$$

连续波信号(基准电压)：

$$s_{\text{t}}(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )$$

将脉冲雷达接收信号和连续波信号通过相位检波器进行混频，得到：

$$u_{\text{r}}\sum _n\mathrm{rect}(t-t_{\text{r}}-n{T}_{\text{r}},\tau )\cos ({\omega }_{\text{d}}-{\varphi }_0)$$

对于固定目标，${\omega }_{\text{d}}=0$，输出结果为等幅脉冲序列，见上图右边波形 ④ 。

对于运动目标，${\omega }_{\text{d}}\ne 0$，$f_{\text{d}}$相对于$f_{\text{r}}={\displaystyle \frac{1}{T_{\text{r}}}}$比较小，$T_{\text{r}}$为脉冲重复周期。整个表达式可以看作，连续波充当了周期脉冲的包络，也就是说回波脉冲的包络调制频率即多普勒频率。如下图所示。

实际上，经过相位检波之后得到的就是图中红色所示的脉冲序列，其包络即为：

$$u_{\text{r}}\cos ({\omega }_{\text{d}}-{\varphi }_0)$$

对于脉冲雷达，相位检波器输出可以看作是对连续波进行了采样，所以可以通过FFT求得$f_{\text{d}}$。

8.1.3 盲速和频闪

当雷达处于脉冲工作状态时，将发生区别于连续工作状态的特殊问题，即盲速和频闪效应。

(一) 盲速

所谓盲速，是指目标虽然有一定的径向速度$v_{\text{r}}$，但若其回波信号经过相位检波器后，输出为一串等幅脉冲，与固定目标的回波相同，此时的目标运动速度称为盲速。如下图所示。

当$f_{\text{d}}=k{f}_{\text{r}},k=\pm 1,\pm 2,\cdots$时就会出现盲速；当$k=1$，即$f_{\text{d}}=f_{\text{r}}={\displaystyle \frac{2v_{\text{r}}}{\lambda }}$，可得第一盲速为$v_{\text{r}}={\displaystyle \frac{f_{\text{d}}\lambda }{2}}$。

当存在盲速时，就需要采取相应的方法消除盲速。但我们所说的消除盲速，并不是指完全将盲速消除，而是增大第一盲速，只要目标速度小于第一盲速，就不会出现盲速。这和前面讲的解距离模糊类似，采样重频参差是为了增大最大无模糊距离，并不是完全消除距离模糊。

(二) 频闪

当$f_{\text{d}1}=n{f}_{\text{r}}\pm f_{\text{d}2}$时，就会出现频闪现象。直观来讲就是脉冲包络存在多种拟合方式，如下图中的实线和虚线所示。

那么如何避免频闪呢？只需要满足

$$|f_{\text{d}}|<{\displaystyle \frac{1}{2}}{f}_{\text{r}}$$

其中，$f_{\text{r}}$可以看作是对连续波进行采样的频率(图中脉冲)，$f_{\text{d}}$可以看作是连续波的频率(图中实现或虚线所示的连续波)。也就是说，只要满足奈奎斯特采样定理就不会出现频闪。

8.2 动目标显示雷达MTI

8.2.1 基本工作原理

经过相位检波之后，去除固定目标的回波，只保留运动目标的回波。

8.2.2 中频部分进行相检的原理

相位检波通常是在中频进行的。

• 发射信号的相位：${\omega }_{0}t+\varphi$

• 回波信号的相位：${\omega }_{0}t+{\omega }_{\text{d}}t+\varphi -{\varphi }_0$

• 本振信号的相位：${\omega }_{\text{L}}t+{\varphi }_{\text{L}}$

• 发射信号和本振混频之后的相位：$({\omega }_{\text{L}}-{\omega }_0)t+{\varphi }_{\text{L}}-\varphi$

• 回波信号和本振混频之后的相位：$({\omega }_{\text{L}}-{\omega }_0-{\omega }_{\text{d}})t+{\varphi }_{\text{L}}-\varphi -{\varphi }_0$

• 相位检波之后得到：${\omega }_{\text{d}}t-{\varphi }_0$

  • 相位检波器就是将发射信号的中频和回波的中频再进行混频，再通过低通滤波器就得到$f_{\text{d}}$。

8.2.3 消除固定目标回波

在相位检波器输出端，固定目标的回波是一串振幅不变的脉冲，而运动目标的回波是一串振幅调制 的脉冲。据此，将相位检波器输出通过相消器，就可以消除固定目标回波，保留运动目标回波。

由相位检波器输出的脉冲包络为:

$$u=u_{\text{r}}\cos ({\omega }_{\text{d}}-{\varphi }_0)$$

一次相消器：输入为相位检波之后的输出。如下图所示。

相消器是想把固定目标的回波消除掉。

对于固定目标的回波，脉冲多普勒雷达经过相位检波之后的输出为一串等幅脉冲，脉冲间隔为$T_{\text{r}}$。如果脉冲序列足够长，将其迟延$T_{\text{r}}$之后得到的脉冲序列，和原来的脉冲序列将会重合到一起，将两个相减输出$\mathrm{\Delta }u=0$。

对于运动目标，除开盲速的情况，输出$\mathrm{\Delta }u\ne 0$。

从信号与系统的角度来分析：

传递响应函数：

$$\begin{array}{rl}H(\text{j}\omega )& ={\displaystyle \frac{u_{\text{o}}}{u_{\text{i}}}}\\ & =1-{\text{e}}^{-\text{j}\omega T_{\text{r}}}\\ & =1-\cos (\omega T_{\text{r}})+\text{j}\sin (\omega T_{\text{r}})\\ & =2\sin (\pi f{T}_{\text{r}}){\text{e}}^{\text{j}\frac{\pi }{2}-\pi f{T}_{\text{r}}}\end{array}$$

幅频特性：

$$|H(\text{j}\omega )|=|2\sin (\pi f{T}_{\text{r}})|$$

如下图所示。

从幅频特性角度来看，$|H(\text{j}\omega )|$就是一个滤波器，相当于将$f_{\text{d}}=0$的固定目标，及以盲速运动的目标就全部过滤掉了。

在脉冲雷达中MTI滤波器就是利用杂波与运动目标的多普勒频率的差异，使得滤波器的频率响应在杂波谱的位置形成“凹口”，以抑制杂波，而让动目标回波通过后的损失尽量小或没有损失。

8.3 盲速、盲相的影响极其解决途径

8.3.1 盲速

所谓盲速是指，目标实际上有运动速度，但对于雷达来说经过相检之后的输出和固定目标相检之后的输出都是等幅的脉冲串，导致无法区分。

根据前面的推导可知，当目标的多普勒频率满足：

$$f_{\text{d}}=n{f}_{\text{r}},n=\pm 1,\pm 2,\cdots$$

就会产生盲速。

第一盲速，即$n=1$，再根据$f_{\text{d}}={\displaystyle \frac{2v_{\text{r}}}{\lambda }}$，有：

$$v_{\text{r}}={\displaystyle \frac{\lambda f_{\text{r}}}{2}}$$

要想不出现盲速，并不是要彻底消除盲速问题，是要想办法将第一盲速的值扩大。

从公式可知，只要增大$f_{\text{r}}$就可以增大$v_{\text{r}}$，但是，$f_{\text{r}}$增大，$T_{\text{r}}$就减小，就与前面讲到的无模糊距离矛盾了(根据第六章目标距离测量相关内容，雷达的最大无模糊距离为${\displaystyle \frac{c{T}_{\text{r}}}{2}}$)。增大$f_{\text{r}}$虽然使第一盲速增大了，但是最大无模糊距离就减小了。

那么如何解决盲速问题呢？可以采用重频参差的方法。

对于两重频：

$$f_{\text{d}}=n\times (f_{\text{r}1}\mathrm{与}{f}_{\text{r}2})\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{公}\mathrm{倍}\mathrm{数}$$

实际上就是将第一盲速的值扩大了。

8.3.2 盲相

盲相也是有脉冲多普勒雷达引发的问题。

(一) 点盲相

如图所示，$A$点和$B$点幅度相同，经过相消器处理，就是将上述图形迟延$T_{\text{r}}$，从图上来说，就是将$A$点移到了$B$点，然后再相减，$B$点就减为0了，这一点的相位信息也就损失掉了。这种情况称之为点盲相。

从矢量分析的角度来看，对于余弦信号$u_{\text{r}}\cos ({\omega }_{\text{d}}-{\varphi }_0)$，可以看作是矢量$A$以角速度${\omega }_{\text{d}}$运动，在水平轴上的投影。

(二) 连续盲相

回波叠加在很强的杂波上，可能产生连续盲相。

(三) 解决办法

(1) 中频对消

不通过相位检波器(混频作用)，直接将中频输出结果进行对消。

中频输出$u_{\text{r}1}$：

$$u_{\text{r}1}=u_{\text{r}}\cos [({\omega }_{\text{i}}+{\omega }_{\text{d}})t+{\varphi }_0^{\prime }]$$

其中，${\omega }_{\text{i}}$为中频角频率。注意，这里只写出了连续波信号部分，实际上这里应该是以该连续波为包络的一个个脉冲串。

将$u_{\text{r}1}$迟延$T_{\text{r}}$之后得到：

$$u_{\text{r}2}=u_{\text{r}}\cos [({\omega }_{\text{i}}+{\omega }_{\text{d}})(t-T_{\text{r}})+{\varphi }_0^{\prime }]$$

将$u_{\text{r}1}$和$u_{\text{r}2}$进行对消得到：

$$\mathrm{\Delta }u=u_{\text{r}1}-u_{\text{r}2}=-2u_{\text{r}}\sin (\pi f_{\text{i}}{T}_{\text{r}}+\pi f_{\text{d}}{T}_{\text{r}})\sin (({\omega }_{\text{i}}+{\omega }_{\text{d}})t+\varphi )$$

对消的目的是想将固定目标回波消除掉，也就是说要在$f_{\text{d}}=0$的时候，使对消器输出$\mathrm{\Delta }u=0$。

• 对于固定目标而言$f_{\text{d}}=0$，想要在中频进行对消(即消除固定目标回波)，$f_{\text{i}}$就不能随便选，需要满足如下条件：$$f_{\text{i}}=n{f}_{\text{r }}$$如此，对于固定目标，$\mathrm{\Delta }u$的前一项$\sin (\pi f_{\text{i}}{T}_{\text{r}})=0$，即相消器输出为0，固定目标回波就被消除掉了。

• 对于盲速运动的目标，$f_{\text{d}}=k{f}_{\text{r}}$，得到的$\mathrm{\Delta }u=0$，也就是说将盲速运动的目标也消除掉了。

(2) 零中频

即$I$、$Q$双通道处理。也可以解决盲相的问题。

正交双通道由两路相同的支路组成，差别只是其基准的相参电压相位差${90}^{\circ }$，这两路分别称为同相支路($I$支路)和正交支路($Q$支路)。

8.4 回波和杂波的频谱及动目标显示器

运动目标检测的任务就是根据运动目标回波和杂波在频谱结构上的差别，从频率上将它们区分，以达到抑制固定杂波而显示运动目标回波的目的。为此，应首先弄清目标和杂波的回波特性，以便采用正确的措施。

8.4.1 回波信号和杂波的频谱

(一) 雷达回波信号的频谱

雷达回波：$u_{\text{r}}(t)=k{u}_{\text{t}}(t-t_{\text{r}})$

回波频谱：$U_{\text{r}}(f)=k{U}_{\text{t}}(f){\text{e}}^{-\text{j}\omega t_{\text{r}}}$

我们分析频谱，往往分析的是其幅频特性。假设目标不动，将上式两边取模，这时你会发现接收信号的幅频特性和发射信号的幅频特性基本相同，只是由于回波多了一个$k$导致其幅频特性的高低有差别。如果目标运动，接收信号和发射信号的载频就相差一个多普勒频率$f_{\text{d}}$。所以，只要将发射信号的频谱分析清楚就能得到接收信号的频谱。

雷达发射相参脉冲串，其脉冲宽度为$\tau$，脉冲重复频率为$f_{\text{r}}$。当天线不扫描而对准目标时，所得脉冲为无限脉冲串。雷达发射信号：

$$u(t)=E\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\text{rect}(t-n{T}_{\text{r}},\tau )\cos ({\omega }_{0}t+{\varphi }_0)$$

其中，$\mathrm{rect}(t,\tau )=\{\begin{array}{ll}1& |t|\le {\displaystyle \frac{\tau }{2}}\\ 0& \text{ 其他 }\end{array}$

雷达发射信号$u(t)$如下图所示。

实际上雷达不可能发射从负无穷到正无穷的信号，这里只是为了理论推导方便，假设$u(t)$是从负无穷到正无穷。

那么，$u(t)$的频谱怎么求呢？可以先不考虑后面的余弦项，只考虑$\mathrm{rect}$项，如下所示。最后乘以$\cos$项，相当于将$\mathrm{rect}$项的频谱进行搬移即可得到$u(t)$的频谱。

根据信号与系统理论可知，周期函数的傅里叶变换是通过傅里叶级数来实现的，周期函数的傅里叶级数是一根根离散的$\delta$函数，$\delta$函数的间隔就是周期的倒数。这些$\delta$函数的包络就和一个周期内部的信号的傅里叶变换有关。门函数的傅里叶变换是一个$\text{sinc}$函数，所以这些$\delta$函数的包络就是$\text{sinc}$函数。如下图所示。注意，幅频特性是取了绝对值的，所以图中只有正值没有负值。

最后，将$\mathrm{rect}$项乘以$\cos$项，相当于将上述频谱往左右搬移，得到：

在没有多普勒频移的情况下，接收信号的频谱和发射信号的频谱形状类似。

雷达工作时，天线总是以各种方式进行扫描。这时收到的回波脉冲为有限数，且其振幅受天线方向图调制。雷达实际的接收信号可表示为：

$$u_{\text{m}}(t)=m(t)u_{\text{r}}(t)$$

其中，$m(t)$为天线的扫描函数，实际就是一个高斯函数，图形如下所示。注意，天线方向图是角度$\theta$的函数，扫描的过程就是$\theta$随$t$线性变化的过程。

所以，回波信号$u_{\text{m}}(t)$的频谱：

$$U_{\text{m}}(f)=M(f)\otimes U_r(f)$$

其中，$\otimes$表示卷积。这里的$U_{\text{r}}(f)$实际上可以用发射信号的频谱$U_{\text{t}}(f)$代替，因为从前面的分析可知，接收信号的频谱和发射信号的频谱基本相同。其中，天线的扫描函数$m(t)$的频频为：

$$M(f)={\text{e}}^{-\frac{f^2}{2{\sigma }^2}},\sigma ={\displaystyle \frac{0.265f_{\text{r}}}{n}}$$

其中，$n$表示在天线扫描期间收到的回波脉冲个数。$M(f)$图形如下所示：

因此，回波信号的频谱就是$M(f)$和一串$\delta$谱线的卷积，相当于将$M(f)$搬移到每根$\delta$谱线位置。结果如下图所示。

以上均假设是建立在目标不动的条件下进行的推导，此时接收信号和发射信号的频谱形状可以近似认为是相同的。

如果目标在运动，接收信号相对于发射信号就会存在一个多普勒频率$f_{\text{d}}$，因此，对于动目标接收信号频谱如下所示。

回波中频对应的频谱如下图所示，图中$f_0$实际上是射频$f_0$经过下变频之后的中频频率，两者之差一个本振频率。

对中频信号进一步进行处理，相位检波器将中频回波和相干电压(如下图所示)进行相干检波。可以参见前面中频部分进行相检的原理一节。

中频回波信号经过相位检波器后（就是将中频回波和相干电压做相位检波，实际就是进行混频过低通），相当于把中频信号的频谱搬到零频率附近，根据目标多普勒频移$f_{\text{d}}$的不同，相位检波后谱线$n{f}_{\text{r}}\pm f_{\text{d}}$的具体位置也有差异，每根谱线均按脉冲串包络的频谱形状展宽。天线扫描时，回波频谱的形状见下图。图中虚线表示单路相位检波所产生的频谱折叠情况，是由负频率轴频谱差拍而产生的(也就是负半轴和相干电压混频得到的)。

如何做到不要虚线部分的频谱呢？

对于下图而言，只要没有负半轴就可以到达上述目的。实际上，根据《随机信号分析》的理论可知，解析信号就没有负半轴。$\cos ({\omega }_{0}t)$频谱包含正半轴和负半轴；${\text{e}}^{\text{j}{\omega }_{0}t}$就只有正半轴，没有负半轴。

实际在处理的时候，如何得到如${\text{e}}^{\text{j}{\omega }_{0}t}$这样的信号呢？可以利用$I$、$Q$双路处理。一路$\cos ({\omega }_{0}t)$表示信号的实部，另外一路$\sin ({\omega }_{0}t)$表示信号的虚部，就可以得到${\text{e}}^{\text{j}{\omega }_{0}t}$。再进行相干检波出来的结果，就只有$n{f}_{\text{r}}+f_{\text{d}}$。

(二) 杂波的频谱

雷达工作时可能碰到的杂波包括地物、海浪、云雨及敌人施放的金属箔等。

$$G(f)=G_0{\text{e}}^{-\frac{f^2}{2{\sigma }^2}}$$

杂波的频谱和前面分析的固定目标的频谱类似。

8.4.2 动目标显示滤波器

动目标显示滤波器利用运动目标回波和杂波在频谱上的区别，可有效地抑制杂波而提取信号。

跟前面讲的概念类似，需要使用相消器。当用 Z 变换进行分析时，可将它画成如下图所示的样子。

传输函数为：

$$H(z)=1-z^{-1}$$

根据前面消除固定目标回波一节的知识，可知幅频特性为：

$$|H(\text{j}\omega )|=|2\sin {\displaystyle \frac{\omega T_{\text{r}}}{2}}|=|2\sin (\pi f{T}_{\text{r}})|$$

其图形如下：

该线性系统将频率为$f_{\text{r}}$、$2f_{\text{r}}$、$3f_{\text{r}}$、$\cdots$处的回波滤除掉了。当$f=0$时，对应的就是固定目标的回波。当$f=\pm n{f}_{\text{r}}$时，对应以盲速运动的目标的回波。

8.5 动目标检测(MTD)

MTD与MTI(动目标显示雷达)是有区别的，MTD是在MTI的性能基础上进一步完善和提高了。

8.5.1 动目标检测的特点

• 动态范围更大

• 改善因子提高：$I={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{s_{\text{0}}}{c_{\text{0}}}}}{{\displaystyle \frac{s_{\text{i}}}{c_{\text{i}}}}}}$

  • 需要和噪声系数的定义区别开，噪声系数的定义是输入的信噪比与输出的信噪比的比值。改善因子的定义是，输出信杂比与输入信杂比的比值。主要体现在对杂波的改善上。通过动目标检测雷达合理的设计，可以使得输出的杂波比输入的杂波要小，即将杂波消除的更多一些。

• 增加多普勒滤波器组

  • 对动目标检测雷达来讲，通过滤波器组将运动目标多普勒频率测量出来。

• 抑制地杂波

• 增加杂波图

  • 不同地方的地物杂波是不一样的。相当于把不同区域的地物杂波的特性存储下来，对于杂波比较强得地方，把杂波门限提高，对杂波比较弱的地方门限降低，有了杂波图之后，相应的门限就不再是一个固定门限，检测起来就有一定的灵活性。

8.5.2 多普勒滤波器组

具有$N$个输出的横向滤波如下图所示。

其输入就是相位检波之后的输出信号。相位检波之后的输出信号如下图所示，回波脉冲的包络调制频率即多普勒频率。多普勒滤波器组就是用来测量多普勒频率的。

前面已经讲过，对于脉冲雷达，相位检波器输出可以看作是对连续波进行了采样，所以可以通过FFT求得$f_{\text{d}}$。该横向滤波器就是用硬件实现了一个类似于FFT的结构。

权值：

$$W_{ik}={\text{e}}^{-\text{j}2\pi (i-1)\frac{k}{N}}$$

其中，$i$表示第$i$个抽头，$k$表示从$0$到$N-1$的标记，每一个$k$值对应一组不同的加权值$(W_1,W_2,\cdots ,W_N)$，相应地对应于一个不同的多普勒滤波器响应。也就是说每一个横向滤波器对应一个固定的$k$值，输出一个相应。$k$的取值从$0$到$N-1$，表示实际上需要搭$N$个横向滤波器。

横向滤波器的总输出(对应于傅里叶变换的公式)：

$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}X(n){\text{e}}^{-\text{j}2\pi n\frac{k}{N}},k=0,1,\cdots ,N-1$$

其中，$X(n)$的取值如下所示，有多少个脉冲$N$就等于几。

$k=0,1,\cdots ,N-1$每一个值实际上对应的是一个频率，$0$对应的频率是${\displaystyle \frac{0}{N}}{f}_{\text{r}}$，$1$对应的频率是${\displaystyle \frac{1}{N}}{f}_{\text{r}}$，$2$对应的频率是${\displaystyle \frac{2}{N}}{f}_{\text{r}}$，以此类推。

求出所有$X(k)$之后，找出$X(k)$里面哪一个$k$对应的值最大，频率就是$k$对应的频率，该频率就是回波脉冲的包络调制频率即多普勒频率，根据多普勒频率就可以求得目标的速度。

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参考笔记：六，目标距离测量 - TX-7的文章 - 知乎