电磁场与电磁波

1 矢量分析与场论

矢量分析与场论主要涉及的知识点有：

• 两种运算：点乘、叉乘；
• 三种常用坐标系：直角、圆柱、球；
• 三个度：梯度、散度、旋度；
• 两个定理：散度定理、旋度定理；
• 两个恒等式。

1.1 两种运算：点乘、叉乘

1.1.1 矢量标(数)量积(点乘)

(一) 点乘的两种计算

(1) 定义式：\(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta\)
(2) 坐标式：\(\vec{A} \cdot \vec{B} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\)

1.1.2 矢量积(叉乘)

(一) 叉乘的两种计算

(1) 定义式：\(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta \text{ }\vec{i_k}\)
(2) 坐标式：\(\vec{A} \times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right|\)

11.3 两个运算式

混合积：\(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A})\)

混合积的简单记忆方法 —— 即按照下图顺时针就正确。

三重叉积：

• 形式1：\(\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})\)
• 形式2：\((\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{A}(\vec{B} \cdot \vec{C})\)

(二) 叉乘的方向

两个向量叉乘，得到另一个向量，其方向判断方法为——右手法则

1.1.3 矢量函数的极限与连续

1.1.4 矢量函数的导数

1.2 三种常用坐标系：直角、圆柱、球

1.2.1 直角坐标系

在直角坐标系中，坐标变量为\((x,y,z)\)，如图，做一微分体元。

(一) 线元

\[\text{d} \vec{l}_x = \text{d}x ~ \vec{e}_x, \quad \text{d} \vec{l}_y = \text{d}y ~ \vec{e}_y, \quad \text{d} \vec{l}_z = \text{d}z ~ \vec{e}_z \]

\[\text{d} \vec{l} = \text{d}x ~ \vec{e}_x + \text{d}y ~ \vec{e}_y + \text{d}z ~ \vec{e}_z \]

(二) 面元

\[\text{d} \vec{S}_x = \text{d}y\text{d}z ~ \vec{e}_x, \quad \text{d} \vec{S}_y = \text{d}x\text{d}z ~ \vec{e}_y, \quad \text{d} \vec{S}_z = \text{d}x\text{d}y ~ \vec{e}_z \]

(三) 体元

\[\text{d} V = \text{d}x\text{d}y\text{d}z \]

1.2.2 圆柱坐标系

在圆柱坐标系中，坐标变量为\((r, \varphi, z)\)，如图，做一微分体元。

(一) 线元

\[\text{d} \vec{l} = \text{d}r ~ \vec{e}_r + r\text{d}\varphi ~ \vec{e}_\varphi + \text{d}z ~ \vec{e}_z \]

(二) 面元

\[\text{d} \vec{S}_r = r\text{d}\varphi\text{d}z ~ \vec{e}_r, \quad \text{d} \vec{S}_\varphi = \text{d}r\text{d}z ~ \vec{e}_\varphi, \quad \text{d} \vec{S}_z = r\text{d}\varphi\text{d}r ~ \vec{e}_z \]

(三) 体元

\[\text{d} V = r\text{d}r\text{d}\varphi\text{d}z \]

1.2.3 球坐标系

在球坐标系中，坐标变量为\((r, \theta, \varphi)\)，如图，做一微分体元。

(一) 线元

\[\text{d} \vec{l} = \text{d}r ~ \vec{e}_r + r\text{d}\theta~ \vec{e}_\theta + r\sin \theta \text{d}\varphi ~ \vec{e}_\varphi \]

(二) 面元

\[\text{d} \vec{S}_r = r^2 \sin \theta \text{d}\theta \text{d}\varphi ~ \vec{e}_r, \quad \text{d} \vec{S}_\theta = r \sin \theta \text{d}r \text{d}\varphi ~ \vec{e}_\theta, \quad \text{d} \vec{S}_\varphi = r\text{d}r\text{d}\theta ~ \vec{e}_\varphi \]

(三) 体元

\[\text{d} V = r^2 \sin \theta \text{d}r \text{d}\theta \text{d}\varphi \]

1.3 三个度：梯度、散度、旋度

矢量场的性质，完全可以由它的散度和旋度来表明；
标量场的性质则完全可由它的梯度来表明。
散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律；
旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。

1.3.1 数量场的方向导数与梯度

在直角坐标系中：

\[\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta + \frac{\partial u}{\partial x} \cos \gamma \]

梯度就是变化率最大方向上的方向导数：

\[\text{grad }u = \nabla u = \vec{e}_x \frac{\partial u}{\partial x} + \vec{e}_y \frac{\partial u}{\partial y} + \vec{e}_z \frac{\partial u}{\partial z} \]

其中，\(\nabla\)称为哈密尔顿算子，在直角坐标系中表示为：

\[\nabla = \vec{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \vec{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \vec{e}_z \frac{\partial}{\partial z} \]

1.3.2 矢量场的通量与散度

通过闭曲面的总通量可表示为：

\[\Phi = \oint_S \vec{A} \text{d}\vec{S} = \oint_S \vec{A} \cdot \vec{n} \text{d}S \]

其中，\(\vec{n}\)为曲面的方向。

在直角坐标系中，散度的表达式：

\[\nabla \vec{A} = (\vec{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \vec{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \vec{e}_z \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (a_x \vec{e}_x + a_y \vec{e}_y + a_z \vec{e}_z) = \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z} \]

散度定理(高斯定理)：

\[\int_V \nabla \vec{A} \text{d}V = \oint_S \vec{A} \text{d}\vec{S} \]

1.3.3 矢量场的环量与旋度

环量(circulation)的定义：

\[\Gamma=\oint_{l} \vec{A} \cdot \mathrm{d} \vec{l}=\oint_{l} A \cos \theta \mathrm{d} l \]

在直角坐标系中，旋度的表达式：

\[\operatorname{rot} \vec{A}=\nabla \times \vec{A}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \end{array}\right|=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial a_{z}}{\partial y}-\frac{\partial a_{y}}{\partial z}\right)+\vec{e}_{y}\left(\frac{\partial a_{x}}{\partial z}-\frac{\partial a_{z}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial a_{y}}{\partial x}-\frac{\partial a_{x}}{\partial y}\right) \]

旋度定理(斯托克斯定理)

\[\oint_l \vec{A} \text{d} \vec{l} = \int_S \nabla \times \vec{A} \text{d} \vec{S} \]

1.3.4 小结

(一) 三个“度”的表达式

梯度	散度	旋度
输入：标量 —— 输出：矢量	输入：矢量 —— 输出：标量	输入：矢量 —— 输出：矢量
\(\nabla u = \dfrac{\partial u}{\partial x} ~ \mathbf{\vec{e_x}} + \dfrac{\partial u}{\partial y} ~ \mathbf{\vec{e_y}} + \dfrac{\partial u}{\partial z} ~ \mathbf{\vec{e_z}}\)	\(\nabla \cdot \vec{A} = \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z}\)	$\nabla \times \vec{A}=\left

(二) 三个积分公式

高斯公式(面积分化为体积分)：

设空间闭区域\(V\)由分片光滑的双侧封闭曲面\(S\)围城，若函数\(P\)、\(Q\)、\(R\)在\(V\)上连续，且有一阶的连续偏导数，则：

\[\iiint_V (\dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z}) \text{d}V = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-20mu \bigcirc}_S P \text{d}y\text{d}z + Q \text{d}x\text{d}z + R \text{d}x\text{d}y \]

其中：\(\text{d}V = \text{d}x \text{d}y \text{d}z\)

斯托克斯公式：

设光滑曲面\(S\)的边界\(L\)是按段光滑的连续曲线，若函数\(P\)、\(Q\)、\(R\)在\(S\)(连同\(L\))上连续，且有一阶的连续偏导数，则：

\[\oint_L P \text{d}x + Q \text{d}y + R \text{d}z = \iint_S (\dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z})\text{d}y \text{d}z + (\dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial x})\text{d}z \text{d}x + (\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y})\text{d}x \text{d}y \]

其中\(S\)的侧与\(L\)的方向按右手法则确定。

对于斯托克斯公式实为将空间闭曲线上的积分转化为空间之有向曲面上的二型积分，即将第二型曲线积分转化为二型曲面积分。其物理意义是矢量场在空间闭曲线上的环流量等于矢量场在有向曲面上的通量。

积分关系定理（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）

1.4 两个重要恒等式

1.4.1 标量场的梯度的旋度恒为零(即任何梯度场都是无旋场)

\[\nabla \times (\nabla \varphi) \equiv 0 \]

1.4.2 矢量场的旋度的散度恒为零

\[\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) \equiv 0 \]

2 静电场及恒定电场

静电场及恒定电场主要涉及的知识点有：

• 两个基本定律：库仑定律和电荷守恒定律；
• 两种场的基本方程和本构关系（方程）；
• 介质的极化；
• 电场的三种求解方法；
• 边界条件及折射关系：法向、切向；
• 电容及电容器的计算；
• 静电场能量的计算。

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• 介电常数：自由空间或真空的绝对介电常数的值被认为是标准。
  • 介电常数是表示电介质的极化特性的，与介质导电能力无关 / 介电常数的虚部与介质的电导率有关系,电导率越大损耗虚部也越大；
  • 相对介电常数：相对介电常数是任何材料的绝对介电常数与自由空间的绝对介电常数的比值。

电磁场与电磁波的某些基础概念：

• 理想导体，指的是电阻为0即电导率为无穷大的物质

  • 其内部没有电场和磁场，其表面上没有切向的电场和法向的磁场；
  • 由于理想导体内不能存在电磁场，所以电磁场入射到理想导体表面上时会发生全反射，理想导体内没有电磁能量进入，反射波能量密度与入射波能量密度相等。
  • 【理想导体的相对介电常数为无穷大？理想导体不会限制磁导率的，介电常数也没有限制？】为什么理想导体介电常数无穷大? - Vermisa的回答 - 知乎
  • 理想导体对磁导率没有要求

• 理想介质就是不导电的物质，即它的电导率为0。

  • 理想介质就是无耗介质(如果媒介质的介电常数ε或磁导率μ是一个纯实数，电磁波在其中传播时就没有损耗，则称该介质为无耗介质，反之就称为有耗介质)，它的电导率为0。

• 理想电导体：介电常数或电导率为无穷大，里面的电场为0，但可以有磁场。

• 理想磁导体：磁导率为无穷大，里面的磁场为0，但可以有电场存在；

• 导体、电介质、磁介质

  • 导体：含有大量可以自由移动的带电粒子的物体。
  • 电介质：是一种绝缘材料，在外电场作用下不能发生传导现象，可以发生极化现象。
  • 磁介质：在外磁场作用下，呈现出明显磁性的物质称为磁介质。

• 电磁场的边界条件：

  • 在分界面上电场强度的切向分量总是连续的
  • 磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的

应用这些边界条件时，必须牢记以下性质：
（1）在理想导体(电导率\(\sigma = \infty\))内部的电磁场为零，理想导体表面存在表面电荷\(\rho_s\)和表面电流\(J_s\)。
（2）在导电媒质(电导率\(\sigma < \infty\))内部的电磁场不为零，分界面上存在表面电荷\(\rho_s\)但表面电流\(J_s=0\)。
（3）在理想介质(电导率\(\sigma = 0\))内部的电磁场不为零，分界面上表面电流\(J_s=0\)，如果不是特意放置，表面电荷\(\rho_s=0\)。