Python数据结构与算法-二叉树
1、树的概念：
树（Tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 每个节点有零个或多个子节点；
- 没有父节点的节点称为根节点；
- 每一个非根节点有且只有一个父节点；
- 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
2、树的一些专用术语：
- 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
- 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
- 叶节点或终端节点：度为零的节点；
- 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
- 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
- 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
- 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
- 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
- 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
- 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
3、树的种类
- 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
- 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
- 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
- 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
- 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
- 排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）；
- 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
- B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。
- 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
4、二叉树：
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）
二叉树性质：
性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）
创建二叉树（11/1 增加使用堆栈方法实现二叉树深度遍历）：
#coding=gbk
#树结构
# li = [0, 1, 2, 3]
# cur = li.pop(0)
# print(cur) # 0 此处获得的cur是 0， 而且已经将 li列表中的0 删除了
# li.append(5)
# print(li) # [1, 2, 3, 4, 5] #此处可知
class Node():
def __init__(self, item=-1, lchild=None, rchild = None):
self.item = item
self.lchild = lchild
self.rchild = rchild
class Tree():
def __init__(self, root=None):
self.root = root
def add(self, item):
'''增加二叉树的节点'''
node = Node(item)
if self.root is None:
self.root = node
else:
li = []
li.append(self.root) #使用队列进行实现，队列是先进先出的 ，此处是pop(0)
while li:
cur = li.pop(0) ##如果第一轮的根节点都有左，右结点时，由于此处删除了root结点，所以得到的是第1个结点（即根结点的左结点）
if cur.lchild is None:
cur.lchild = node
return
elif cur.rchild is None:
cur.rchild = node
return
else:
li.append(cur.lchild) #如果一开始的话，根节点均有左右子节点，则增加到列表上
li.append(cur.rchild)
遍历二叉树：
树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点的访问称为遍历（traversal）。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。
1.深度优先遍历（先序遍历，中序遍历， 后序遍历）
#二叉树的遍历
# 那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。
# 一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。
def preorder(self, root):
'''使用递归实现先序遍历二叉树， 根节点->左子树->右子树'''
if root is None:
return
print(root.item, end=' ')
self.preorder(root.lchild) #使用递归，
self.preorder(root.rchild)
def inorder(self, root):
'''使用递归实现中序遍历二叉树， 左子树->根节点->右子树'''
if root is None:
return
self.inorder(root.lchild)
print(root.item, end=' ')
self.inorder(root.rchild)
def postorder(self, root):
'''使用递归实现后序遍历二叉树， 左子树->右子树->根节点'''
if root is None:
return
self.postorder(root.lchild)
self.postorder(root.rchild)
print(root.item, end= ' ')2.使用堆栈实现深度优先遍历：（最好画图比较好理解一些）
#使用堆栈实现树的先序遍历,栈是先进先出的
def prestack(self, root):
if root is None:
return
stack = []
node = root
while node or stack:
while node: #如果当前没有左结点
print(node.item, end=' ')
stack.append(node)
node = node.lchild #左结点
node = stack.pop()
node = node.rchild #如果此时没有右结点， 即 node=None, 则继续执行pop（）
def instack(self, root):
if root is None:
return
stack = []
node = root
while node or stack:
while node:
stack.append(node)
node = node.lchild #先找到左结点
node = stack.pop()
print(node.item, end=' ') #打印结点
node = node.rchild #寻找右结点
def post_stack(self, root):
if root is None:
return
stack1 = []
stack2 = []
node = root
stack1.append(node)
while stack1:
node = stack1.pop()
if node.lchild is not None:
stack1.append(node.lchild)
if node.rchild is not None:
stack1.append(node.rchild)
stack2.append(node)
while stack2:
print(stack2.pop().item, end=' ') #逆序遍历所有的元素3.广度优先遍历（层次遍历）
# 广度优先(层次优先)从树的root开始，从上到下从从左到右遍历整个树的节点
def breadth_travel(self, root):
if root is None:
return
queue = []
queue.append(root)
while queue:
cur = queue.pop(0)
print(cur.item, end=' ')
if cur.lchild is not None:
queue.append(cur.lchild)
if cur.rchild is not None:
queue.append(cur.rchild)测试函数：
print('test tree-----')
t = Tree()
t.add(1)
t.add(2)
t.add(3)
t.add(4)
t.add(5)
t.add(6)
t.preorder(t.root) #1 2 4 5 3 6
print()
t.inorder(t.root) #4 2 5 1 6 3
print()
t.postorder(t.root) #4 5 2 6 3 1
print()
t.breadth_travel(t.root) #1 2 3 4 5 6 #广度优先遍历
