最小路径和 动态规划

64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]

输出：7

解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]

输出：12

思路：

  这题和62. 不同路径很相似，几乎可以按一模一样的代码结构做出来。但不同的是，62题求的是路径数，这一题求得是最小路径和。

  我们同样定义动态规划数组dp[][]，dp[i][j]表示到达（i,j）位置的最小路径。

  要注意求路径数和路径和的不同。还是先拿最上面一行的网格举例：求路径数时，整个一行都是1；而求最小路径和时，整个一行都是逐个累加的结果。对于最左边一列的情况也是类似的不同。

  对于其他网格，状态转移方程为：

  dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]

  可以看到，因为到（i,j）位置的最小路径，要么就是从上面到来，要么就是从左面到来，我们要看看哪个更小。最终我还必须要加上它本身的值。

代码：

class Solution(object):

    def minPathSum(self, grid):

        m = len(gri1d) #得到行数和列数

        n = len(grid[0])

        dp = [[0]*n for _ in range(m)]#定义动态规划二维数组

#dp[i][j]表示到达（i,j）位置的最小路径

        dp[0][0]=grid[0][0]#左上角的值初始化为原位置值

        for i in range(1,n):#初始化最上面的网格

            dp[0][i]=dp[0][i-1]+grid[0][i]

        for i in range(1,m):#初始化最左边的网格

            dp[i][0]=dp[i-1][0]+grid[i][0]

        #开始动态规划

        for i in range(1,m):

            for j in range(1,n):#对于非最上边和非最左边的网格，使用状态转移方程

#看看左边来的路径短还是上边来的路径短

                dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]

        return dp[m-1][n-1]

小结：

  再次强调，这道题和62. 不同路径极其相关，强烈建议对比着学习。共同掌握，在对比中你会豁然开朗~